二用数学归纳法证明不等式 (2).doc

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1、第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式A级　基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证(　　)A．n＝1　　　　　　B．n＝2C．n＝3D．n＝4解析：由题意n≥3知应验证n＝3.答案：C2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.答案：C3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)

2、成立，其初始值至少应取(　　)A．7　　　　B．8C．9　　　　D．10解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.答案：B4．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋≥(n∈N*)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是(　　)A.B.＋C.＋－D.＋－－解析：当n＝k时，不等式为＋＋…＋≥.当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋.比较n＝k与n＝k＋1的左边，可知应添加的项为＋－.答案：C5．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为(　　)A．12B．13C．14D．不存在解析：令f(n)＝＋＋…＋，

3、取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以[f(n)]max＞，所以由f(2)＞，求得m的值．故应选B.答案：B二、填空题6．用数学归纳法证明2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)时，第一步的验证为________．解析：当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．答案：21＋1≥12＋1＋27．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．解析：由题中已知不等式可猜想：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)．答案：＋＋

4、…＋≥(n≥3且n∈N*)8．在应用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n＝k到n＝k＋1只增加了一项，即(k∈N＋)．答案：三、解答题9．试证明：1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k

5、∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＜2.那么n＝k＋1时，＋＜2＋＝＜＝2.这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)(2)可知不等式对n∈N＋成立．10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N*)．证明：由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝x2－1.因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1，当n＝k＋1时，ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－

6、1)(2k－1＋2)＝22k－1.又k≥1，所以22k≥2k＋1，所以n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，不等式成立．根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．B级　能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项解析：1＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，共增加了2k项．答案：D2．利用数学归纳法证明＜时，n的最小取值n0应为________．解析：n0＝1时不成立，n0＝2时，＜，再用数学归纳法证明，故n0＝2.答案：23．已知数列

7、{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.(1)解：S1＝a1＝，所以＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2.故是以2为首项、2为公差的等差数列．(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－＝－·＜－·＝－.即当n＝k＋1时，不等式成立．根据①②可知对任意n∈N＋不等式成立．