二用数学归纳法证明不等式.docx

《二用数学归纳法证明不等式.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、选择题1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A．1＋<2－B．1＋＋<2－C．1＋<2－D．1＋＋<2－解析：选A　n0＝2时，首项为1，末项为.2．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．又若P(n)对n＝2成立．则下列结论正确的是(　　)A．P(n)对所有n∈N＋成立B．P(n)对所有正偶数成立C．P(n)对所有正奇数成立D．P(n)对所有大于1的正整数成立解析：选B　∵在上面的证明方法中，n的第一个值为

2、2，且递推的依据是当n＝k时，命题正确，则当n＝k＋2时，命题也正确．∴P(n)是对所有的正偶数成立．3．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和S＝(n－2)π对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A．2B．3C．4D．5解析：选B　n边形的最少边数为3，则n0＝3.4．用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋>(n>2，n∈N＋)”时的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边(　　)A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了两项，，又减少了一项D．增加了一项

3、，又减少了一项解析：选C　当n＝k时，左边＝＋＋…＋.当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋.故由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项．二、填空题5．证明<1＋＋＋…＋1)，当n＝2时，要证明的式子为________．解析：当n＝2时，要证明的式子为2<1＋＋＋<3.答案：2<1＋＋＋<36．用数学归纳法证明：当n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为________，从k到k＋1时需增添的项是________．解析：当n＝1时，原式为

4、1＋2＋22＋23＋25－1＝1＋2＋22＋23＋24.从k到k＋1时需增添的项是25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4.答案：1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋47．利用数学归纳法证明“<”时，n的最小取值n0应为________．解析：n0＝1时不成立，n0＝2时，<，再用数学归纳法证明，故n0＝2.答案：28．设a0为常数，且an＝3n－1－2an－1(n∈N＋)，若对一切n∈N＋，有an>an－1，则a0的取值范围是________．解析：取n＝

5、1,2，则a1－a0＝1－3a0>0，a2－a1＝6a0>0，∴0n2成立，所以归纳猜想2n

6、＋2>n2成立．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边，所以原不等式成立；当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n＝k时(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因为2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据①和②可知，2n＋

7、2>n2对于任何n∈N＋都成立．11．已知等比数列{an}的首项a1＝2，公比q＝3，Sn是它的前n项和．求证：≤.证明：由已知，得Sn＝3n－1，≤等价于≤，即3n≥2n＋1.(*)法一：用数学归纳法证明上面不等式成立．①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．②假设当n＝k时，(*)成立，即3k≥2k＋1，那么当n＝k＋1时，3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，(*)成立．综合①②，得3n≥2n＋1成立．所以≤.法二：当n＝1时，左边＝3，右边

8、＝3，所以(*)成立．当n≥2时，3n＝(1＋2)n＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×2n＝1＋2n＋…>1＋2n，所以(*)成立．所以≤.