2018_2019高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式举例学案.docx

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1、4.2用数学归纳法证明不等式举例预习案一、预习目标及范围1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式,了解贝努利不等式的应用条件.二、预习要点教材整理 用数学归纳法证明不等式1.贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)n>.2.在运用数学归纳法证明不等式时,由n=k成立,推导n=k+1成立时,常常要与其他方法,如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行.三、预习检测1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(  )A.2 

2、   B.3    C.5    D.62.用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步证明不等式________成立.3.试证明:1+++…+<2(n∈N+).探究案一、合作探究题型一、数学归纳法证明不等式例1已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N+),求证:S2n>1+(n≥2,n∈N+).【精彩点拨】 先求Sn再证明比较困难,可运用数学归纳法直接证明,注意Sn表示前n项的和(n>1),首先验证n=2;然后证明归纳递推.[再练一题]1.若在本例中,条件变为“设f(n)=1+++…+(n∈N+),由f(1)=1>,f(3)>1,f(7)>,f(1

3、5)>2,…”.试问:f(2n-1)与大小关系如何?试猜想并加以证明.例2 证明:2n+2>n2(n∈N+).【精彩点拨】 ⇒⇒[再练一题]2.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式…>均成立.题型二、不等式中的探索、猜想、证明例3 若不等式+++…+>对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.【精彩点拨】 先通过n取值计算,求出a的最大值,再用数学归纳法进行证明,证明时,根据不等式特征,在第二步,运用比差法较方便.[再练一题]3.设an=1+++…+(n∈N+),是否存在n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(a

4、n-1)对大于1的一切正整数n都成立?证明你的结论.二、随堂检测1.数学归纳法适用于证明的命题的类型是(  )A.已知⇒结论B.结论⇒已知C.直接证明比较困难D.与正整数有关2.用数学归纳法证明不等式1+++…+<2-(n≥2,n∈N+)时,第一步应验证不等式(  )A.1+<2-B.1++<2-C.1+<2-D.1++<2-3.用数学归纳法证不等式1+++…+>成立,起始值至少取(  )A.7   B.8   C.9   D.10参考答案预习检测:1.【解析】 n取1,2,3,4时不等式不成立,起始值为5.【答案】 C2.【解析】 因为n>1,所以第一步n=2,即

5、证明1++<2成立.【答案】 1++<23.【证明】 (1)当n=1时,不等式成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即1+++…+<2.那么n=k+1时,+<2+=<=2.这就是说,n=k+1时,不等式也成立.根据(1)(2)可知不等式对n∈N+成立.随堂检测:1.【解析】 数学归纳法证明的是与正整数有关的命题.故应选D.【答案】 D2.【解析】 n0=2时,首项为1,末项为.【答案】 A3.【解析】 左边等比数列求和Sn==2>,即1->,<,∴<,∴n>7,∴n取8,选B.【答案】 B

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