2020版高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式举例课件新人教A版.pptx

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1、二用数学归纳法证明不等式举例1.通过教材掌握几个有关正整数n的结论.2.会用数学归纳法证明不等式.121.本节的有关结论(1)n2<2n(n∈N+,n≥5).(2)

2、sinnθ

3、≤n

4、sinθ

5、(n∈N+).(3)贝努利不等式:如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)n>1+nx.贝努利不等式更一般的形式:当α是实数,并且满足α>1或者α<0时,有(1+x)α≥1+αx(x>-1),当α是实数,并且满足0<α<1时,有(1+x)α≤1+αx(x>-1).(4)如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an的乘积a1a2…an=1

6、,那么它们的和a1+a2+…+an≥n.122.用数学归纳法证明不等式使用数学归纳法证明不等式,难点往往出现在由当n=k时命题成立推出当n=k+1时命题成立这一步.为完成这步证明,不仅要正确使用归纳假设,还要灵活利用问题的其他条件及相关知识.12121.观察、归纳、猜想、证明的方法剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题,命题的成立不成立都预先需要归纳与探索,而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手,得到一个结论,但这个结论不一定正确,因为这是靠不完全归纳法得出的,因此,需要给出一定的逻辑证明,所以,通过观察、分析、归纳、猜想,探索一般规律,

7、其关键在于正确的归纳猜想,如果归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明也就无法进行了.在观察与归纳时,n的取值不能太少,否则将得出错误的结论.前几项的关系可能只是特殊情况,不具有一般性,因而,要从多个特殊事例上探索一般结论.122.从“n=k”到“n=k+1”的方法与技巧剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题

8、,它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构.题型一题型二题型三题型四分析：先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.题型一题型二题型三题型四当n=1时,21=2>12=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=8<32=9,当n=4时,24=16=42,当n=5时,25=32>52=25,当n=6时,26=64>62=36.故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2,下面

9、用数学归纳法加以证明.(1)当n=5时,2n>n2显然成立.(2)假设当n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立,即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,题型一题型二题型三题型四2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2(因为(k-1)2>2).由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.综上所述,题型一题型二题型三题型四反思利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.题型一题型二题型三题型四(

10、1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由;(2)设数列{an}(n∈N+)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明：存在常数M,使得对于任意的n∈N+,都有an≤M.题型一题型二题型三题型四当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,从而φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则φ(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点,因此,h(x)在(0,+∞)内也至多只有一个零点.综上所述,h(x)有且只有两个零点.由此猜测:an

11、学归纳法证明.当n=1时,a1≤a显然成立.因此,当n=k+1时,ak+1≤a成立.故对任意的n∈N+,an≤a成立.综上所述,存在常数M=max{x0,a},使得对于任意的n∈N+,都有an≤M.题型一题型二题型三题型四(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2…an<2n!恒成立.分析：(1)由题设条件知,可用构造新数列的方法求得an;(2)可以等价变形,视为证明新的不等式.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路,

12、即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明,我