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1、《近世代数》作业参考答案一．概念解释1．代数运算：一个集合到集合D的映射叫做一个到D的代数运算。2．群的第一定义：一个非空集合G对乘法运算作成一个群，只要满足：1）G对乘法运算封闭；2）结合律成立：对G中任意三个元都成立。3）对于G的任意两个元来说，方程和都在G中有解。3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。4．满射：若在集合A到集合的映射下，的每一个元至少是A中的某一个元的象，则称为A到的满射。5．群的第二定义：设G为非空集合，G有代数运算叫乘法，若：（1）G对乘法封闭；（2）结合律成立；（3）单位元存在；（4）G中任一元在G中都有逆元，则称G对乘法作成群。6．理想：环R的一个非空子集N叫
2、做一个理想子环，简称理想，假若：（1）（2）7．单射：一个集合A到的映射，，，叫做一个A到的单射。若：。8．换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。9．环：一个环R若满足：（1）R至少包含一个不等于零的元。（2）R有单位元。（3）R的每一个非零元有一个逆元，则称R为除环。10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。11．群的指数：一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H在G里的指数。12．环的单位元：设R是一个环，，若对任意的，都有，则称e是R的单位元。二．判断题1．×；2．×；3．√；4．×；5．√；6．√；7．√；8，√；9．√；10．√；11．×；12．√
3、13、√14、×15、√三．证明题1．证：G显然非空，又任取A，B，则，于是AB是整数方阵，且，故，即G对乘法封闭。结合律显然成立，且E是G单位元。又设，由于A是整数方阵，故A的伴随矩阵也是整数方阵；又故，即也是整数方阵，即G中每一个元在G中都有逆元，从而证得G第6页共6页以上仅为参考答案，简答、论述题均只列及主要的解题知识点，请您结合自我理解和课本内容进行知识掌握和巩固。如对答案等有疑义，请及时登录学院网站“辅导论坛”栏目，与老师交流探讨！作成一个群。2．证：设，则当时，，于是映射：就是G=（a）到整数加群Z的一个一一映射。又，故是G到Z的同构映射。即G=（a）与整数加群Z同构。3．证：显
4、然是Z[i]的单位，设x=a+bi是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di使xy=(a+bi)(c+di)=1而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i既有：ac-bd=1,ad+bc=0(1)从而又ad=–bc代入前式有：（，即
5、a若a=0,则由（1）有bd=–1,只有b=,即。若，则由
6、a得b=0,a=,即x=,因此证得：Z[i]的单位元只有。4．证：由题设可列乘法表：abcdaabcdbbadcccdabddcba由此表可知：方阵普通乘法是G的代表运算，a是G的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素G中都有逆元，结合率显然成立。故G对方阵普通乘
7、法作成一个交换群。5．证：设e是群G的单位元，则e显然满足方程另外设且，则有即a=e,即只有e满足方程。6．证：因为为素数，则（以及）是Z[i]的不可约元，且显然有分解：若设不可约）则且，这只有，且不妨设5=ab且则只能，即5=，即5有唯一分解。7．证：由乘法表可知，G对所给乘法封闭，e是单位元，又，，，即每个元素在G中都有逆元，因此要证G是一个群，只要再证结合律成立即可。任取，则显然有：其次令，且，则由乘法表知：，可知结合律成立。8．证：1）设分别是环R的左右单位元，则由此有：，=，从而=，即它是R的单位元。2）设，是R的两个互异的左单位元，则对任意的，有或（-）=0，但-0，故是R的一个
8、右零因子。同理，若R有至少两个右单位元，则R的每一个非零元都是R的左零因子。第6页共6页以上仅为参考答案，简答、论述题均只列及主要的解题知识点，请您结合自我理解和课本内容进行知识掌握和巩固。如对答案等有疑义，请及时登录学院网站“辅导论坛”栏目，与老师交流探讨！9．证：任取A，BF，且令，，显然，又当时，实数c,d不全为零，于是，且，故F是M（R）的一个子域。10．证：显然所给运算是G的一个代数运算，又任取则而G是群。即即G对新代数运算结合律成立。又任取，，即u是右单位元。又，即是的右逆元。由群的定义知，G对新运算也作成一个群。11．证：设，由于R可交换，得：，从而A可逆，设是的伴随矩阵，则由
9、R有单位元1可知：于是故若：，则：，即同理可由，证毕。12．证：不妨设A含有单位元，任取，，由题设A，B都是R的理想，得:13.1、;---2．左陪集：；；--右陪集：；；---3．子群：六个子群；---三个正规子群；--14.1．6;3．.—15.设H=[e],由于～是等价关系，故e～e,即----,则a～e,b～e因而ae～,be～b,由题设可得e～,e～,---10分;由对称性及传递性得～,～e,再由题
