近世代数课后习题参考答案(张禾瑞).doc

《近世代数课后习题参考答案(张禾瑞).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、近世代数课后习题参考答案第五章扩域1扩域、素域1.证明:的一切添加的有限子集于所得的子域的并集是一个域.证一切添加的有限子集于所得的子域的并集为1)若则一定有易知但从而2)若且则　　　　　从而有２单扩域１．令是域的一个扩域，而证明是上的一个代数元，并且　　　证　　因故是上的代数元．其次，因，故易见，从而２．令是有理数域．复数和在上的极小多项式各是什么？与是否同构？　　证　易知复数在上的极小多项式为在上的极小多项式为　　因　故这两个域是同构的．３．详细证明，定理３中在域上的极小多项式是　　证　令是中的所有适合条件的多项式作成的集合．1)是的一个

2、理想　　(ⅰ)若　则因而　故　　ⅱ)若是的任一元那么　则2)是一个主理想设　是中！的极小多项式那么，对中任一有这里或r(x)的次数但因　所以若　　　则与是的极小多项式矛盾．故有　　因而　（３）因　p(a)=0　　故p(x)　　　　　因二者均不可约，所以有又的最高系数皆为1那么这样就是４．证明：定理３中的　　证　设，则在定理３的证明中，之下有．　　　但　　　故必这就是说　因而３代数扩域１．令是域的一个代数扩域，而是上的一个代数元，　　证明是上的一个代数元　　　　证　因为是上的代数元所以　　又因为是F的代数扩域，从而　　　　　是的代数扩域，再有是

3、上的代数元，故()的有限扩域，由本节定理１，知是的有限扩域，因而是的代数扩域，从而是上的一个代数元．２．令,E和L是三个域，并且，假定而的元在上的次数是n，并且证明在上的次数也是１　　证　设因为由本节定理另一方面，因为仍由本节定理！！即有　　但由题设知　　　故　　又在上的次数是，因而其在上的极小多项式的次数是１　　在上的次数是，因而其在上的极小多项式的次数是　　由于在上的极小多项式能整除在上的极小多项式所以　　因而３．令域！的特征不是２，是的扩域，并且证明存在一个满足条件的的二次扩域的充分与必要条是：，而在上的极小多项式是证　充分性：　　由于

4、在上的极小多项式为　　故及　　因而　　　　　　　由本节定理１知：所以　　　　　　　　这就是说，是一个满足条件的的二次扩域必要性：　　由于存在满足条件且为的二次扩域即因此可得（我们容易证明，当的特征不是２时，且则而！在！上的极小多项式是！同样　　而在上的极小多项式是这样　　　那么所以令同时可知均属于由此容易得到　　　４．令是域的一个有限扩域，那么总存在的有限个元使证　　因为是的一个有限扩域，那么把看成上是向量空间时，则有一个基显然这时　　　　５．令是有理数域，看添加复数于所得扩域＂　　　证明证　　易知！在！上的极小多项式是！即（同样上的极小多项

5、式是即由此可得（４多项式的分裂域　１．证明：有理数域上多项式　的分裂域是一个单扩域其中是的一个根　　证　　的４个根为又所以２．令是有理数域，是上一个不可约多项式，而是的一个根，证明不是在上的分裂域．　证　由于是的一个根，则另外两个根是，这里，是的根若是的在上的分裂域那么这样，就是由3。3定理！有但　此为不可能.３．令是域上个最高系数为的不可约多项式，证明存在的一个有限扩域，其中在上的极小多项式是证　令由本节定理２在上的分裂域存在，根据4.3定理３，知是上的有限扩域，取的根则有因　　是的有限扩域，故也是的有限扩域，显然！是在F上的极小多项式．４

6、．令是一个特征为素数的域，是的一个单扩域，而是的多项式的一个根，是不是在上的分裂域？　证　因是的根　　故　　　即由于的特征为素数！所以因此是在上的分裂域５有限域１．令是一个含个元的有限域，证明，对于是每一个因数，存在并且只存在的一个有个元的子域证　因为是的因数，所以那么　是的因式，但在中完全分裂，所以在中也完全分裂，那么中含有的个根，由这个根作成一个子域．　　又因为在中的分裂域只有一个，所以中有个元的子只有一个．　　　　２．一个有限域一定有比它大的代数扩域．　　证　设是有个元的有限域．看上的因为对的任一元因此，在上没有一次因式．　　这样，在上

7、有一个一次数的不可约因式．作分裂域　　则　而且是的代数扩域．３．令是一个有限域，是它所含素域，且是否必须是的非零元所作成的乘群的一个生成元？　证　我们的回答是未必．　令是３元素域　在上的分裂域为，若令的因式！的根为，　　则由　所组成，！　　故不是非零元所作成的乘群的生成元．　　但。４．令是特征为２的素域．!找出的一切三次不可约多项式．　　证　容易证明及是的一切三次不可约多项式．６可离扩域１．令域的特征是是上一个不可约多项式，并且可以写成上，但不能写成的多项式，证明，的每一个根的重复度都是证　由于可以写成上的多项式，而不是的多项式，我们以　表示

8、　　因为　在上不可约，所以也不可约．　　假定的次数是，首系数是，在它的分裂域中，分裂为次因式的乘积，即　　因此　　若是的根，则　　　那么所以有个互异个根，并且它们都