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《《近世代数》AB模拟练习试题参考答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、《近世代数》A/B模拟练习题参考答案一、判断题（每题4分，共60分）1、设是群单同态，则Kw/o为单点集（V）2、设er:Gj—>G2是群同态，Kbo•为单点集，则o■必为单射（M）3、设b：G]TG2是群同态，则Kwo为单点集当且仅当o■为单射（“）4、5元置换（42351）是偶置换（J）5、两子群的并一定是子群（X）6、4元置换（4231）是偶置换（X）7、已知H,K是群G的子群，则HK也为G的子群（X）8、B知爲,+,*）是域（X）9、两子群的并一定是子群（X）10、任意置换均可表示为若干个不相交的轮换的乘积（丿）11、如果循环群G二（a）中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群
2、同构（V）12、设G是兄阶，幺是它的单位元,则幺的周期为1（J）13、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群（X）14、若环R满足左消定律，那么R必定没有右零因子（丁）15、唯一分解环必是主理想环（X）二、证明题（每题20分，共300分）1、设F[x]为域F上的一元多项式环，/WeF[x],则（/（兀））为极大理想当且仅当/（兀）为不可约多项式。证明：（必要性）假设/（兀）不是不可约多项式，可知/（x）不是零元也不是可逆元,从而存在非零非可逆元g（x）Ji（x）GF[x]，使得f（x）=g（x）h（x）,故（/（兀））u（g（x））,（于（劝）工（g（兀））,因为（/（%））是极
3、大理想,所以（g（x））=F[x],故g（x）=±l矛盾。综上，/（兀）为不可约多项式。(充分性)若有理想No(/(x)),则因为F[x]是主理想环，所以必有eF[x]使得N=g)),从而g(x)f(x)9由/(兀)为不可约多项式可知,或者g(兀)=±1,或者g(x)=±f(和〈32〉是整数环Z的两个理想，求生成元使得=<18>+<27>,=<18>n<27>o解：6/=(24,32)=&=[24,32]=96o3.写出三次对称群S3的所有子群并写出S3关于子
4、群I#{(1),(23)}的所有左陪集和所有右陪集。解：丨S31=6其子群的阶数只能是1,2,3,61阶子群<(1)}2阶子群{(1)(12)}{(1)(13)}{(1)(23)}3阶子群{(1)(123)(132)}6阶子群S3左陪集:(1)H={(1)(23)}=(23)H(12)H={(12)(123)}=(123)Il(13)H二{(13)(132)}二(132)H右陪集：H(1)={(1)(23)}二H(23)H(13)={(13)(23)}=H(123)H(12)={(12)(132)}二H(132)4、叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群
5、H与K的交HCK仍然是G的一个子群。解：充要条件：a,bwH,=>cibwH;awH=>a~'wH；证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交设H,则a.bgH,a,bgKH是G的子群，有abeHK是G的子群，有abeK:.abwQVaeH,贝妝eH且aeK由定理1,可知a~xgH综上所述，H也是G的子群。5、设G={(。上)
6、°,处/?,且aH0},规定G中的元素运算：(a,b)(c,d)=(ac,be+d),证明G是群，但不是交换群证明:给定S,b),(cM)，C，/)wG,则(C)(c;〃))(匕/)=(%如+仍(匕/)=(ace,acf+ad+b^,(a,b)((c,d)(
7、匕f))=(a,b)(c匕qf+d)=(ace,aqf+ad+b),所以该运算关于乘法满足结合律.对任意(a,b)wG,(询(1,0)=(询=(1,0)(话),所以(1,0)是单位元.任取(a,b)wG，则—eG,并且(a,b)——=(L0)=——(a,〃),所以、aa丿^cicij(aa丿<［hA—,—=(a,b),所以G是群.laa)此外(a,b),(c,d)wG,(a,b)(c,d)=(ac,ad+h),(c,d)(a,b)=(ac,bc+d),所以(a,b)(c,d)工(c,d)(a,b),因此G不是交换群.6、证明［Q(亦+"):Q］二4证明：令认=后+护,贝IJ况=亦+
8、"=>@_亦尸=(")2=>/一2躬u一2=()=>(/—2尸=(2亦弘尸/一24/一16=0,现令/(x)=x4-24x2-16,有f(u)=0.此外可知/(兀)是0上的不可约多项式，从而f(^)=x4-24x2-16是厉+>/7在Q上的极小多项式。再根据Q上线性空间2(75+V7)的维数等于V5+V7在Q上的极小多项式的次数，即知[Q“+O)：Q]=4・7、证明lZ+kZ=(l,k)Z,其中l,kwZ,(/,幻表示最大公约数证明：41/Zo(/,Z:)
