资源描述：
《《近世代数》AB模拟练习题参考答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《近世代数》A/B模拟练习题参考答案一、判断题（每题4分，共60分）1、是群的子群当且仅当，有（×）2、已知是7阶群的子群，则的阶数只可能等于1或7（√）3、设是有单位元的交换环，是的素理想，则是域（×）4、数域F上的一元多项式环F[x]环不是欧氏环（×）5、设是群单同态，则为单点集（√）6、设是群同态，为单点集，则必为单射（√）7、设是群同态，则为单点集当且仅当为单射（√）8、两子群的并一定是子群（×）9、已知是群的子群，则也为的子群（×）10、已知是域（×）11、两子群的并一定是子群（×）12、任意置换均可表示为若干个不相交的轮换的乘积（√）13、如果循环群G=(a)中生成元a
2、的阶是无限的，则G与整数加群同构（√）14、设是阶,是它的单位元,则的周期为1（√）15、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群（×）16、若环R满足左消定律，那么R必定没有右零因子（√）17、唯一分解环必是主理想环(×)18、一个A到A的映射叫做A的一个变换（√）19、任何一个群都同一个变换群同构（√）20、n次对称群的阶是（√）一、证明题（每题20分，共300分）1、设，规定中的元素运算：，证明是群，但不是交换群。证明:给定，则，，所以该运算关于乘法满足结合律.对任意，，所以是单位元.任取，则，并且，所以，所以是群.此外，，，所以，因此不是交换群.2、证明。证明：令，则，现
3、令，有.此外可知是上的不可约多项式，从而是在上的极小多项式.再根据上线性空间的维数等于在上的极小多项式的次数，即知.3、设为有理数域上的一元多项式环,,证明：为的一个极大理想。证明：易知是上的不可约多项式，故仅需证不可约多项式生成的理想是极大理想.若有理想，则因为是主理想环，所以必有使得，从而，由是不可约多项式可知，或者，或者。前者说明，后者说明，故为极大理想,证毕.4、记表示非零复数集合,是模为1的复数集合,表示正实数集合,证明。证明:Step(1)证明关于复数的乘法构成群a)因为,所以非空b)易知,复数的乘法是的一个映射,从而它是上的一个二元代数系统c)成立,从而满足结合律d)
4、,有,所以1是单位元e),有,所以中任意元素均有逆元综合以上五点可知,关于复数的乘法构成群Step(2)证明是的正规子群a)可知是交换群,而交换群的子群一定是正规子群,所以仅需证明是子群即可b),有成立综合上述两点,即知是的正规子群Step(3)证明a)已证关于复数的乘法构成群,是的正规子群,且易知关于数的乘法构成群b)定义:,可知是映射c),,所以是群同态d),存在使得,所以是满射a)可知综合上述几点,根据群同态基本定理,可知5、证明。解：（1）Step1，求零化多项式令，则现令，有（4分，共4分）Step2，验零化多项式的不可约性因为所以从而是上的不可约多项式综合上述两点，可知
5、是在上的极小多项式证明（2）由（1）知上线性空间的维数等于在上的极小多项式的次数，所以（3分，共11分）若，则，所以线性无关综合上述两点，即知是上线性空间的一个基。6、设为域上的一元多项式环,是不可约多项式，证明：为的一个极大理想。证明：若有理想，则因为是主理想环，所以必有使得，从而，由是不可约多项式可知，或者，或者。前者说明，后者说明，故为极大理想。7、设是给定的正整数，，按照数的通常加法运算，证明：是群。证明:1）因为,所以非空；2）易知,它是上的一个二元代数系统；3）有成立,从而满足结合律；4）,有,所以是单位元；5）,有,所以是的逆元。综合以上五点可知,是群。8、设,则为极
6、大理想当且仅当为素数。证明：（必要性）假设不是素数，可知不是零元也不是可逆元，从而存在非零非可逆元，使得，故，因为是极大理想，所以，故可逆，矛盾。（充分性）若有理想，则因为是主理想环，所以必有使得，从而，由是素数可知，或者为可逆元，或者与相伴。前者说明，后者说明，故为极大理想。9、设为域上的一元多项式环,,则为极大理想当且仅当为不可约多项式。证明：（必要性）假设不是不可约多项式，可知不是零元也不是可逆元，从而存在非零非可逆元，使得，故，，因为是极大理想，所以，故矛盾。综上，为不可约多项式。（充分性）若有理想，则因为是主理想环，所以必有使得，从而，由为不可约多项式可知，或者，或者。前
7、者说明，后者说明，故为极大理想。10、设<24>和<32>是整数环Z的两个理想，求生成元使得，。解：。11、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。解：其子群的阶数只能是1，2，3，61阶子群｛（1）｝2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝3阶子群｛（1）（123）（132）｝6阶子群左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H（13）H=｛（1
