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1、《近世代数》A/B模拟练习题参考答案一、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G二（a）中牛成元a的阶是无限的，贝怡与整数加群同构。（V）2、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（X）3、两个子群的交一定还是子群。（X）4、若环R满足左消定律，那么R必定没有右零因子。（V）5、任意置换均可表示为若干个对换的乘积。（V）6、F（x）屮满足条件p（a）=0的多项式叫做元3在域F上的极小多项式。（X）7、已知H是群G的子群，则H是群G的正规子群当且仅当VgwG,都有gHQ=H（V）8、唯一分解环必是主
2、理想环。（X）9、已知是交换环，/是的理想，则/是的素理想当口仅当是/?//整环。（V）10、欧氏环必是主理想环。（V）11、整环中，不可约元一定是素元。（V）12、子群的并集必是子群。（X）13、任何群都同构于某个变化群。（V）14、交换环屮可逆元与幕零元的和是可逆元。（V）15、集合人=乙B=N,、f:A—B:nn+2是从A到3的映射。（X）二.证明题（每题20分，共300分）1、求眈+厉在。上的最小多项式。解：令心迈+亦，贝iJV2=m-a/5X«-V5）3=2.于是/—3•/•厉+3w（a/5）2-
3、（a/5）3=u3+15w-（3w2+5）a/5=2.移项后得/+15况-2=（3/-5）亦.两边平方,得到3+15—2）2=（3/一5尸•5・这是u上满足的Q上6次方程，故[Q(u):Q]<6.又(—妁=2,可得y/5eQ(u).由L2(a/5):Q]=2R[0丽:Q\[Q(u):Q,知2[Q(u):Q].而由近=u-躬知迈仏亦)=。仅)・又[。炯：Q]=3及[2(^3):Q]
4、[Q(u):Q]，得31[Q(u):Q].于是6
5、[Q(u):Q],因而[Q(«):Q]=6.由于(w记C’=C{0}表
6、示非零复数集合，U={eiO ^R}是模为1的复数集合，疋表示正实数集合，证明C/U=R+o证明：Step(l)证明C*关于复数的乘法构成群a)因为lwC*,所以C*非空b)易知，复数的乘法是C*x(TTC*的一个映射，从而它是C*上的一个二元代数系统c)7a、p、YwCa(0y)=(a/3)y成立,从而满足结合律d)wC：有la=al=a,所以1是单位元e)/rei0wC：有(/)(丄严)=1,所以C*中任意元素均有逆元r综合以上五点可知，C*关于复数的乘法构成群Step(2)证明(7是C*的正规了群
7、+15—2)2一(3/_5尸・5=0,故6次多项式(F+15—2)2一5(3无2一5)2是饥在。上的最小多项式.2、求出阶是32的循环群(°)的所有子群，这些子群是否都是不变子群。解：因为(a)为循环群，所以Q)为交换群，又因为32的所有正整数因子为:1,2,4,8,16,26.所以循环群(小的所有子群为循环子群：⑷,(/),3)(/)(/)(护)=(/)=[e}并且这些子群都是不变子群。明是子群即可b)VZ1,宀w(/,有0(即尸=ei0^eU成立综合上述两点，即知(/是C*的正规子群Step(3)证明C
8、/U=R+a)已证C*关于复数的乘法构成群，(/是C*的正规子群,且易知疋关于数的乘法构成群b)定义：庄亠-R+,(p(rei0)=rf可知/是映射c)//;0,r2ei0-eC*,(p(r严)=心沪)仅虫')=口，所以0是群同态d)Vre/?+,存在rgC使得^(r)=r,所以炉是满射e)可知ker(^)={reldeC(p{re,d)=}=U综合上述几点，根据群同态基本定理，可知C/U=R+4、设R是模8的剩余类环，在一元多项式环&兀]屮把([2]疋+⑺兀-[3])(p]x2一兀+⑵)计算出来，并
9、求/(%)=%4-[4]x3+[5]兀彳—⑵兀+⑺的导数。解：R是模8的剩余类环(1)([2]x3+[7]x-[3])([5]x2-x+[2])=[2][5]x证明2(V2,>/3)=2(V2+a/3)证明：(1)Stepl,求零化多项式，令w=>/2+a/3,则-⑵〒+[2][2]x3+[7][5]x3-[7]x2+[7][2]x-[3][5]x2+[3]x-[3][2]=[2]x5一[2]x4+[4]x3+[3]x3-[7]x2+[6]x-[7]x2+[3]x-[6]=[2]x5-[2]〒+[7]x3-
10、[6]x2+x-[6](2)多项式f(x)=x4-[4]x3+[5]x2一[2]兀+⑺的导数为r(x)=4[l]x3-3[4]x2+2[5]x-[2]=[4]x3-[4]x2+[2]x-[2]w=V2+a/3=>(w-^)2=(V3)2=>u2-2>/2w-l=0=>(u2-1)2=(2V2w)2w4-10w2+l=0现令y(x)=x4-10x2+l,有/(«)=0Step2,验零化多项式的不可约性因为x4-10
