近世代数复习

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1、（一）群在集合上的作用群在集合上的作用主要掌握如何求轨道、稳定子、不动元．下面分别对这三个概念简要介绍．设群G作用在集合X上，xX．(1)称O{gxgG

2、}为x在G下的轨道．该定义的含义是：对于固定的xX，x所在的轨道是用x去乘xG中的每个元素，将结果记入O内．x(2)称S{gGgx

3、()x}为x在G中的稳定子．该定义的含义是：对于固定的xX，将群G中的元素gxi依次作用于这个x上，若作用结果仍为x，将该g记入S内．ix(3)称F{xXgx

4、()x}为x在G中的稳定子(集)．该定义的含义是：对于固定的gG

5、，将g依次作用g于xX上，若作用结果仍为x，将该x记入F内．iiig用一个例子来说明这三者的求法．已知X{1,2,3,4,5,6}，G{(1),(12),(356),(365),(12)(356),(12)(365)}．(1)轨道．固定xX1，Og1{1,2}，gG．1ii固定xX3，Og3{3,5,6}，gG．3ii固定xX4，Og4{4}，gG．4ii由此可以看到，在某轨道出现过的值不需要再次进行计算，xy,X，OO,或者完全相同，或者完全xy不同，且XO，这种算法类似于陪集的

6、算法．xx(2)稳定子．固定xX1，G中的每个元素分别去作用1，结果仍为1的只有S{(1),(356),(365)}．1固定xX3，G中的每个元素分别去作用3，结果仍为3的只有S{(1),(12)}．3固定xX4，G中的每个元素分别去作用4，结果仍为4的有SG．4由此可以看到，同一轨道元素在G中的稳定子相同，所以x的取法和计算轨道时x选取相同．(3)不动元素．固定(1)G，用(1)去与X中每个元素作用，作用后元素值不变的是FX．(1)固定(356)G，用(356)去与X中每个元素作用，作用后元素值不变的是

7、F{1,2,4}．(356)固定(12)G，用(12)去与X中每个元素作用，作用后元素值不变的是F{3,4,5,6}．(12)固定(12)(356)G，用(12)(356)去与X中每个元素作用，作用后元素值不变的是F{4}．(12)(356)（二）Burnside引理的应用(以P103的例12为例)例：今有红(r)、黄(y)、蓝(b)三种颜色的小珠子各2颗．问：用他们可以串成多少种不同的手链？【解答】22(1)首先要认识到，对于这样的问题，共有CC种排列方法(在6个位置中先选取2个位置放一种64颜色，再从剩下的4个位置

8、中选取2个放另外一种颜色)．所以集合X的元素个数为90．(2)我们需要知道群G中有哪些变换．i第一类：为绕中心按逆时针方向旋转．i3第二类：为沿着对边中线的反射，如右图．i第三类：为沿着对角线的反射，如右图．i综上，G{(1),(i1,2,3,4,5),(i1,2,3),(i1,2,3)}．iii(3)下面来求不动元素数．因为当对角颜色相同时，旋转180情况不变，其余旋转均会改变颜色的分布情况．另外，当对称两个方向的颜色相同时，翻折并不会使颜色分布发生变化．可得数P103表2.5.1．(4)从而由Burn

9、side引理11nF

10、g

11、(90020266363)11

12、G

13、gG12可以算得有11种不同的手链．（三）西罗定理(SylowTheorem)的应用例1：证明：56阶群G不是单群．3【证明】(不失一般性)由西罗第三定理，5627．设P为G的Sylow7子群，则

14、P

15、7．设r为G的Sylow7子群的个数，则r

16、[:]8GP，77r1(mod7)．则有r1或8．77(1)若r1，则P为G的正规子群，与G是单群矛盾．7(2)r8，则G有8个Sylow7子群PP,,，它们互相共轭，由于P是素数阶

17、的循环群，PP{}e，718jij因此G中有8648个7阶元，1个单位元．设Q为G的Sylow2子群，则Q中有8个元素(其中一个是单位)．但G不能自由一个Sylow2子群，不然Q为G的正规子群，与G是单群矛盾．所以G不是单群．例2：证明：85阶的群G是循环群．【证明】(不失一般性)对85进行素因数分解，85517．由西罗第一定理，G有Sylow5子群和Sylow17子群．由西罗第三定理，Sylow5子群的个数n

18、17且n1(mod5)，则有5kn1

19、17．555Sylow17子群的个数n

20、5且n1(mod17)

21、，则有17tn1

22、5．171717从上式可以解到：n1，n1，说明只有1个Sylow5子群和1个Sylow17子群．517由性质：若群

23、

24、Gpq，其中pq、为素数，若G中只有唯一p阶子群和q阶子群，则G为循环群．由此，证毕．例3：试求：A的Sylow2