近世代数复习思考题

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1、《近世代数》复习思考题1．指出下列判断正确还是错误3（1）存在一个只含3个元素的群。（2）一个群中阶大于2的元素的个数是奇数。（3）循环群一定是交换群。（4）所有的环都是交换环。（5）整数环一定是整环。（6）有理数的减法都满足结合律。（7）两个理想的交集还是一个理想。（8）整数环含有零因子。（9）整数环是一个欧氏环。（10）有理数的除法满足结合律。（11）存在一个只含2个元素的群。（12）一个群中阶等于2的元素组成一子群。（13）任意群都包含一个循环子群。（14）环的乘法都满足结合律。（15）域一定是整环。（16）每个域的特征都是素数。（1

2、7）两个子群的交集还是一个子群。（18）域含有零因子。（19）每个域都包含有理数域。（20）域上的多项式环一定是一个唯一分解环。32．指出下列命题是否正确，并简述理由3（1）全体整数组成一个乘法群。（2）整数环与偶数环同构。（3）域上的多项式环是唯一分解环。（4）整系数多项式环Z[x]的理想（2，x）是一个主理想。（5）循环群的子群也是循环群。（6）整数环与偶数环不同构。（7）全体非零有理数组成一个加法群。（8）欧氏环一定是唯一分解环。（9）整系数多项式环Z[x]是一个主理想环。（10）循环群的同态像也是循环群。33．回答下列问题3（1）叙

3、述群的定义。（2）列出2个群的实例，其中一个是有限群，另一个是无限群。（3）证明复数域的任何含1的子环都是整环。（4）证明有理数域不包含真子域。（5）叙述环的定义。（6）列出2个群的实例，其中一个是循环群，另一个不是循环群。（7）证明复数域的任何子域都含有理数域。（8）整数环的商域（分式域）是什么域？（9）问偶数环的商域（分式域）是什么域？（10）问实数域是否是一个欧氏环？34证明一个指数为2的群一定是一个不变子群。5如果群G的每个元素a都有a2=1则G是交换群。6求出整数模12剩余类加群的所有子群。7求出整数模15剩余类加群的所有子群。8

4、证明Z（）={a+b

5、a，b是整数}对普通实数的加法和乘法作成一个整环。9证明Q（）={a+b

6、a，b是有理数}对普通实数的加法和乘法作成一个域。10设环R=Z（i）={a+bi

7、a，b是整数}，A=（1+i）是R的理想，证明剩余类环R/A是一个域。11设环R=Z（i）={a+bi

8、a，b是整数}，A=（1-i）是R的理想，证明剩余类环R/A是一个域。12设F是一个含4个元素的域，证明：（1）F的特征是2。（2）F的元a，若a0，1，那么a是方程x2=x+1的根。13设F是一个含9个元素的域，证明：（1）F的特征是3。（2）如果域F恰含4个

9、元，问F的特征是几？14证明整数模n的剩余类环Zn是域当且仅当n是一个素数。15求

10、Q（√2，√3）：Q

11、=？《近世代数》复习思考题23一、判断对错3（1）全体自然数成为一个乘法群。（2）非零实数的除法满足结合律。（3）存在一个含100个元素的群。（4）存在一个只含2个元素的群。（5）对任何正整数n，一定存在一个n阶群。（6）所有的5阶群都是循环群。（7）一个群中阶大于2的元素的个数是偶数。（8）一个群中阶大于2的元素总是成对出现。（9）一个群中阶为2的元与它的逆元素相同。（10）每个群都存在循环子群。（11）所有的环都存在一个单位元。（1

12、2）域是整环。（13）域的每个子环都没有零因子。（14）复数域的每个子环都是整环。（15）每个域都包含有理数域。（16）有理数域没有真子域。（17）两个理想的交集还是一个理想。（18）整数环不含有零因子。（19）域是一个欧氏环。（20）交换的除环是域。3二、判断对错并简述理由3（1）全体非零有理数组成一个乘法群。（2）全体有理数组成一个乘法群。（3）全体非零整数组成一个乘法群。（4）整数环与偶数环同构。（5）整数加群与偶数加群同构。（6）一个环可能与它的子环同构。（7）域上的多项式环是唯一分解环。（8）整系数多项式环Z[x]是唯一分解环。（

13、9）整系数多项式环Z[x]的理想（2，x）是一个主理想。（10）有理系数多项式环Q[x]的理想（2，x）是一个主理想。（11）循环群的子群也是循环群。（12）循环群的商群也是循环群。（13）环也是一个加群。（14）域也是一个环。（15）域上的多项式环是一个整环。（16）整系数多项式环Z[x]是一个整环。（17）存在一个含5个元素的域。（18）存在一个含6个元素的域。（19）存在无限多个不同的循环群。（20）无限循环群含无限个不同的子群。3三、问答题3（1）叙述群的定义。（2）叙述环的定义。（3）叙述域的定义。（4）列出2个群的实例，其中一个

14、是有限群，另一个是无限群。（5）举例说明什么是欧氏环。（6）问：整系数多项式环Z[x]是否是欧氏环？（7）证明复数域的任何含1的子环都是整环。（8）有理数域是否包含真子域？（9）