近世代数(2)-

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1、近世代数主讲教师：张广祥辅导课程四内容简立群的定义与性质子群与商群子群、陪集、子群的指数、不变子群、商群同态与不变子群同态与商群、同态基本定理特殊的群循环群、变换群、置换群、置换的运算群的定义定义1.非空集上有一个代数运算(乘法)且满足(1)每a、bG,abG(封闭律)(2)(ab)c=a(bc)(结合律)(3)存在单位元e使ea=ae=a,且对每a有a-1使a-1a=a-1a=e,则G称为群.群的阶

2、G

3、,无限群,有限群,交换群,非交换群例(1)整数加群(Z,+)(2)方程xn-1=0的根组成一个n阶乘群.消去律、有限群另一定义定理2.2

4、.1每个群仅有一个单位元.证若e,e’都是单位元,则e’=e’e=e.定理2.2.2群中每个元仅有一个逆元.定理2.2.3每个群满足左、右消去律:(3’)若ax=ay,则x=y；若xa=ya则x=y.有限群另一定义(定理2.3.1)非空有限集若满足条件(1)(2)(3’)则G上一个群.证记G={a1,a2,…an},由(3’)G={a1a,a2a,…ana},故a=aia,同样a=aai,ai=e.也有aja=e,aj=a-1.群同态定义两个群之间影射:GH使(ab)=(a)(b)则称为群同态.定理2.4.1若:GH是两个乘法代

5、数系统的同态,如G是群则H也是群,因此是群同态.证由群的定义立得.定理2.4.2若:GH是群同态,则e是G的单位元时(e)是H的单位元,且(a)-1=(a-1).例Z是整数加群,Zn是整数模n剩余类加群,则:a[a]是加群同态Z~Zn.变换群本节重点可自然地定义变换的乘法，且这种乘法满足结合律，由此定义变换群.定义设,:SS是集合S上的两个变换,定义(a)=((a)),aS,则还是S上的变换.若也是S上的变换,则()=().恒等变换记为:(a)=a.定理2.5.1设G是集合S上若干变换作成的

6、集合,且恒等变换G,若G对变换的乘法成为一个群,则G每元都是S上的一一变换.称G为S上的变换群.若S是有限集,G也称S上的置换群.例欧氏空间的平移群与旋转群.定理2.5.3(Cayley)每个群都同构于一个变换群.证设G是一个群,对每xG定义一个右乘变换x:GG使ggx,则x(g1)=x(g2),当且仅当g1x=g2x,当且仅当g1=g2(右消去律),故x是一一变换.记G*={x

7、xG},则G*是一个变换群,:GG*使(x)=x是群同构GG*.(是一一)注.Cayley定理说明变换群与置换群的重要性.置换群本节

8、重点置换的乘法运算n个文字置换的两种表法:表法1==表法2=(12)(345),=(1423)===(12)(345)(1423)=(13245)置换群（续）注.表法2要点:=(i1i2is)(j1j2jt),不同括号内可由文字不相交,每个括号称为一个循环,长为1的循环略去不写,恒等置换记为1.例n次对称群Sn,阶为n!.S4={1,(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24)

9、,(14)(23),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)}定理2.6.2每个n元置换都能表为文字不相交的循环之积.置换群（例题）例1===(12)(456),=(154)(26),=(16)(25),=(16)(24)-1=(12)(465)(154)(26)=(16425)例2证明Sn的每个元都可以表为若干个形如(12),(13),(14),…(1n)的2-循环之积.证看任一个循环(i1i2…it),若1{i1,i2,…,it},则(i1i2…it)=(1i1)(1i2)…(

10、1it)(1i1),若1{i1,i2,…,it},则(1i2…it)=(1i2)…(1it).例3(1234)(56)=(12)(13)(14)(15)(16)(15)(123)(456)=(12)(13)(14)(15)(16)(14)=(12)(13)(45)(46)循环群要点循环群是由一个元素生成的最简单的群.定义群G如果仅含某一个元a的方幂,则G称为由a生成的循环群,记为G=(a),G的阶也称为a的阶.例1.整数加群Z是一个无限循环群,生成元为1.2.整数模n剩余类加群Zn也是循环群,生成元是[1],阶为n.定理2.7.1循环群或同

11、构于整数加群或同构于整数模n剩余类加群.证设G=(a).作影射:ZG使iai.若

12、a

13、无限,则是群同构ZG.若

14、a

15、=n,则(kn)=1,