近世代数(2)-2

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1、近世代数主讲教师：张广祥辅导课程五置换群（续）注.表法2要点:=(i1i2is)(j1j2jt),不同括号内可由文字不相交,每个括号称为一个循环,长为1的循环略去不写,恒等置换记为1.例n次对称群Sn,阶为n!.S4={1,(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)}定理2.6.2每个n元

2、置换都能表为文字不相交的循环之积.置换群（例题）例1===(12)(456),=(154)(26),=(16)(25),=(16)(24)-1=(12)(465)(154)(26)=(16425)例2证明Sn的每个元都可以表为若干个形如(12),(13),(14),…(1n)的2-循环之积.证看任一个循环(i1i2…it),若1{i1,i2,…,it},则(i1i2…it)=(1i1)(1i2)…(1it)(1i1),若1{i1,i2,…,it},则(1i2…it)=(1i2)…(1it).例3(1234)(56)=(

3、12)(13)(14)(15)(16)(15)(123)(456)=(12)(13)(14)(15)(16)(14)=(12)(13)(45)(46)循环群要点循环群是由一个元素生成的最简单的群.定义群G如果仅含某一个元a的方幂,则G称为由a生成的循环群,记为G=(a),G的阶也称为a的阶.例1.整数加群Z是一个无限循环群,生成元为1.2.整数模n剩余类加群Zn也是循环群,生成元是[1],阶为n.定理2.7.1循环群或同构于整数加群或同构于整数模n剩余类加群.证设G=(a).作影射:ZG使iai.若

4、a

5、无限,则是群同构ZG.若

6、

7、a

8、=n,则(kn)=1,是群同构ZnG.子群重点子集是子群三个充分必要条件.定义群G的子集H如果在G的乘法之下也成为一个群,则H称为G的子群,记为HG.例偶数加群是整数加群的子群.对称群S3S4.定理2.7.1设H是群G的非空子集,则H是子群当且仅当(1)a,bHabH(2)aHa-1定理2.7.2设H是群G的非空子集,则H是子群当且仅当a,bHa-1bH.定理2.7.3设H是群G的有限非空子集,则H是子群当且仅当a,bHabH.证必要性显然,下证充分性.因为这时H满足条件(1)(2)(3’),由定理2.3

9、.1是子群.子群(续)生成元集定义设G是一个群,SG.记G的全体包含S的子群的交为(S),称为S生成的子群.特别地,若(S)=G,则称S是G的生成元集.循环群是由一个元素生成的群.例S4=((123),(1234))证(123)-1=(132),(132)(1234)=(14),(1234)-1(14)(1234)=(12),(123)(1234)=(1324),(1324)-1(14)(1324)=(13),故((123),(1234))=((12),(13),(14))=S4.子群的陪集重点陪集分解定义设H是G的子群，a∈G，把子集aH

10、={ah│h∈H}称为H在G中的左陪集，注意a∈aH，同样把Ha=ah│h∈H称为右陪集.引理设H≤G，a，b∈G若aH∩bH≠φ则aH=bH.证若x∈aH∩bH则x=ah1=bh2，h1，h2∈H，于是a=bh2h1－1∈bH，aHbH.同样bHaH，因此aH=bH.定理2.9.1设H≤G，则H在G中左陪集个数等于右陪集个数。记这种共同的个数为│G：H│，称为子群H在G中的指数.子群与陪集(续)证由引理G分解为互不相交的左陪集的并集G=a1H+…+asH(加号代表并集符号),这一等式称为左陪集分解.容易证明每aiH=Hai－1,因此G=H

11、a1－1+…+Has－1.于是G共含s个左陪集，同时G也共含s个右陪集，因此│G：H│=s.定理2.9.2(Lagrange)如果G是有限群，H≤G则│G│=│G:H│·│H│，特别地│H││G│.证由H在G中的左陪集分解G=a1H+…+asH得│G│=s·│H│=│G:H│·│H│证明阶为pm(p为素数)的群一定包含一个p阶群.证取1aG.因

12、G

13、=pm,由Lagrange定理

14、a

15、=ps,sm.只要a1,则有

16、

17、=p.子群与陪集(例)同态与不变子群重点不变子群是一类特重要的子群,由不变子群可以构造商群。定义若H≤G且对每a∈G有a

18、H=Ha,则H称为G的不变子群，记为H△G表示。定理2.10.1-2设N是G的子群,则下面三个条件等价　(1)N△G(2)每a∈G，aNa－1=N　(3)每a∈