近世代数(3-2)

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1、近世代数主讲教师：张广祥辅导课程九1第三章环与域2理想重点注意理想是一个子环，但子环不一定是理想，熟悉主理想的结构。定义1环R的子集A满足下列二条件：(1)每a,bA有a-bA(2)每rR,aA有raA,则A称为R的理想.定义2设R是一个环,a1,a2,…,anR，将R的包含元素a1,a2,…,an的最小理想,称为由a1,a2,…,an生成的理想,记为(a1,a2,…,an)由一个元a生成的理想称为主理想,记为(a).3理想(续1)主理想的元素形式:(1)当环R不交换时(a)={(x1ay1+…+xmaym)+sa+at+na

2、xi,yi,

3、s,t∈Z}。(2)当环R交换时(a)={ra+na

4、r∈R,n∈Z}.(3)进一步R既交换又有单位元,(a)={ra

5、r∈R}例1整数环Z中主理想(2)=2Z.2环F[x]中主理想(x)=全体常数项为零的f(x).4理想(续2)例3整系数多项试环Z(x)中(2,x)不是主理想环.证首先(2,x)={2f(x)+xg(x)

6、f(x),g(x)Z(x)}.若(2,x)=(p(x)),则2(p(x)),2=p(x)q(x).因此p(x)=aZ.又因x(p(x)),故a=1.但(1)=Z(x),矛盾,因此(2,x)不是主理想.5环同态重点与群的同

7、态基本定理(2.11.2)一样也有环的同态基本定理(3.8.2).定义1.设φ:R～是环同态，则A=Kerφ={x∈R

8、φ(X)=0}称为φ的核。定义2.设A是环R的理想,则R/A={x+A

9、x∈R}在加乘(x+A)+(y+A)=(x+y)+A,(x+A)(y+A)=xy+A之下成为一个环,这个环称为剩余类环,其元素通常记为x+A=[x].例Zm=Z/(m).6环同态(续)定理3.8.3设φ:R～R*是环同态，则(1)R的子环S在φ下的象S*也是R*的子环.(2)R的理想A在φ下的象A*也是R*的理想.(3)反之,R*的子环S*在φ之下的逆象S={

10、xR

11、φ(x)S*}是R的子环.(4)R*的理想A*在φ下的逆象A={xR

12、φ(x)A*}是R的理想.证简单地验证.7最大理想要点利用最大理想作剩余类环是由交换环获得域的重要方法.定义1设R是一个环,R也是它自身的理想,这种理想称为单位理想.如果R的一个非单位理想A不含在任何一个更大的非单位理想中,则称A为R的最大理想.例整数环Z的主理想(n)=nZ={nx

13、xZ}.(6)(2),(3).(ab)(a),(b).于是(n)是Z的最大理想当且仅当n=p是素数.8最大理想(续)定理3.9.1设R是一个有单位元的交换环，A是R的理想，则剩余类

14、环R/A是域当且仅当A是R的最大理想.证必要性:若R/A是域,因为域只有平凡理想,故由定理3.8.3A是R的最大理想.充分性:若A是R的最大理想,则K=R/A只有零理想与单位理想,要证K是域.设0aK,则(a)=K.说明1=a*a,a*K,K是域.例Zn是域当且仅当n是素数.9商域(分式域)要点从一个无零因子的交换环获得域的另一种方法是求商域.定理3.10.1每一个无零因子的交换环都是一个域的子环.定义1由于一个无零因子的交换R都是一个域的子环,把含R的最小域F称为R的商域,则F={

15、a,bR,b0},因此商域也称分式域.定理3.10.4同构

16、的环R的商域也同构.例整数环Z的商域是有理数域Q.10商域(续)定理3.10.1证明主要步骤:(1)A={(a,b)

17、a,bR,b0},定义上等价关系(a,b)(c,d)ad=bc.商集记为F,F的元表为.(2)F上定义加法与乘法:+=,=(3)证明F在上面运算之下成为一个域.(4)证明F包含一个与R同构的子环R*={a/1

18、aR}.11