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1、数论一、填空题：1).模210的简化剩余系元素个数：48解：φ(210)=210*1-12*1-13*1-15*1-17=482).模9的绝对最小简化剩余系：{-4,-2,-1,1,2,4}3).模11的全部二次剩余：1,2,3,4,5解：I12345a≡i2(mod11)14-253(二次剩余个数=二次非剩余个数=p-12,P94)二、判断题：1).任意a∈Z,(a,m)=1，则有am-1≡1(modm)，则m为素数。（N）(P43/5费马小定理)2).若2x≡2y(mod9)，则x=y+6k，k∈Z。（Y）(指数，原根性质P115/6.1.1)解：先算阶m.a
2、m≡1(modn)x≡y(modm)26≡1(mod9)x≡y(mod6)3).若2x≡2y(mod7)，则x=y+3k，k∈Z。（Y）(同上)4).x≡2(mod3)x≡2(mod5)x≡2(mod7)的最小x的值为107（Y）解：∵同余3,5,7均为2∴xmin=3,5,7+2=3*5*7+2=107三、选择题：1).同余方程6x≡12(mod9)的解个数（3）解：∵(6,12,9)=3∴原式等价于2x≡4(mod3)即x≡2(mod3)∴x≡2,5,8(mod9)2).5100/7的余数为（2）解：∵φ(7)=6∴56≡1(mod7)∴5100≡(56)16
3、*54≡54≡52*52≡42≡16(mod7)3).735的个位数为（3）解：∵φ(10)=4∴74≡1(mod7)∴735≡(74)8*73≡73≡72*7≡6*7≡3(mod10)4).已知563为素数，则x2≡429(mod563)的解数为（2）解：高斯二次互反429=3*11*13∵3563=-5633=-23=-111563=-56311=-211=113563=-56313=-413=-1∴429563=35631156313563=1P97/5.2.1ap=ap-12ap=-pa四、计算题：1、求解同余方程：x≡1(mod3)x≡2(mod5)x≡
4、3(mod7)x≡52(mod105)解：P76m1=3,m2=5,m3=7(3,5)=1,(3,7)=1,(5,7)=1(mi,mj)=1m=3*5*7=105m=miM1=mm1=35M2=mm2=21M3=mm3=15Mi=mmi存在Mi'Mi≡1(modmi)Mi'Mi≡0(modmj)i≠j∴M1'=2M2'=1M3'=1x≡i=1kaiMiMi'(modm)∴x≡52(mod105)2.求φ(72)，设e=13，求满足ed≡1(modφ(72))的d。d≡13(modφ24)解：φ(72)=72*1-121-13=24∴24=13*1+11;13=11
5、*1+2;11=2*5+1;∴1=24*6-13*11;∴13d≡24*6-13*11≡1(mod24)∴d≡13(mod24)3.已知3是17的一个原根，(1)列出模17的指数表；(2)求解同余方程：6x12≡11(mod17)x≡2,8,9,15(mod17)解：30≡1(mod17)31≡3(mod17)32≡9(mod17)33≡10(mod17)34≡13(mod17)35≡5(mod17)36≡15(mod17)37≡11(mod17)38≡16(mod17)39≡14(mod17)310≡8(mod17)311≡7(mod17)312≡4(mod17
6、)313≡12(mod17)314≡2(mod17)315≡6(mod17)3i≡a(mod17)A12345678910111213141516ind2a0141125151110237134968五、证明题：设a，b，c是不全为0的整数，则：1.(ma+mb)=m(a+b)，其中m>0；2.b
7、ac及(a,b)=1，则b
8、c；3.由b
9、c，a
10、c及(a,b)=1，可推ab
11、c；4.若(a,b)=1，则(a,b,c)=(a,c)；5.设p为素数，若p
12、ab，则a,b中至少有一个能被p整除。近世代数一、填空题1.设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=13、>是G子群，则bH={c,b}，商群G/H={{a,e},{c,b}}解：H=={e,a}bH={eb,ab}={b,c}G/H={H,bH}={{a,e},{c,b}}2.高斯整环Z[i]的可逆元是1,I,-1,-i3.循环群(Z14,+)生成元为1,3,5,9,11,13解：与14互素且比14小的正整数，个数为φ(14)4.在环(Z12,+)中，Z12的可逆元为1,5,7,11解：与12互素且比12小的正整数5.分别写出6和21在整数环Z[-5]中两个不同的既约元分解式6=2*3=(1--5)(1+-5),21=3*7=(4--5)(4+-5)二、判断题
14、1.(Z1
