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1、世代数小论文数学10.108吴吉豫学习“域的扩张”过程中的一些想法首先学习的是扩域和子域的定义：令E是域，FuE,若F在E的运算下也为成为域，则称F为E的子威，而E称为F的扩域.根据定义能够知道：复数域是实数域的扩域，实数域是冇理数的扩域，复数域也是冇理数域的扩域.由此考虑扩域是否存在以下结论：命题：E是H的扩域，H是F的扩域，那么E也是F的扩域.证明：因为E是H的扩域，H是F的扩域，则FuH,HuE所以FuE,因为F在H的运算下成为域，由于H的运算也是E的运算，所以F在E的运算下成为域，既E是F的扩域.接下来学习的是：命题1;设FuE是域扩张及S是E的子集，
2、令F(S)是用F的元和S屮的元进行所冇可能的冇限次加减乘除得到的元的集合，则尸⑸J力(°］42,…，务)fiS］，，…,aJ(2)0正整数kya^a2,--,akwS,WGiS，…,务)w尸［兀1，兀2，・・51»7=1,2,血匕,％…S)h0且它是E的子域，是E中含F及S的最小子域，证明：用上一段对F(g)的类似的讨论，(2)式同样成立，并BF(S)对加减乘除都封闭，故F(S)是E的子域.又对E的任一了域/,若它含有F及S,则用F的元和S中的元进行所有可能的有限次加减乘除得到的元的集合F(S),故F(S)是E的含F及S的最小了域,定义1E是F的扩域，SuE,
3、称F(S)为F添加S而成的扩域.命题2E是尸的扩域，S,S’uE,则F(S1)(S2)=F(S1uS2).证明：显然F,,uS2uF(S
4、XsJ,故由命题1有F(SJ(S2)z>F(S4S2)・又F(S
5、US2)包含F(SJ及S2,仍由命题1有F(SJ(S2)uF(S
6、US2)所以F(SJ(S2)=F(S~S2)・我们曾经在高代屮学过0(血)=G+bd,(Q,心0)是数域，那么高代里的21(V2)=a+b4z,(a,bgQ)和这里的定义的在有理数0上添加血而成的扩域0(血)=fZ(V2)./；(兀),/2(x)uF[x],/2(72)ho[2~l_/2(V2
7、)F[x]是0上多项式集合J是否是一样的呢？证明：由于e2(V2)是复数域c包含0及"的最小子域，JEL2,(72)是复数域C屮包含0及“的子域，则Q(")u@(Vi),对于任一ag血,^=址2,对a分母有理化及合并同类项的a=a+b近丄a,bwQ),所以fi(*2)2.(72)022(72).因此Q=0，既高代中学的Q(血)和这里定义的在有理数0上添加V2而成的扩域02(血)是一样的.类似的可以得到以下结论：2(V3)=a+1)屈,仏bwQ)2(V2)(V3)=Q+bd，b，be2(V2))2(73)(72)=67+b迈Qbg2(V3))此时猜测是否对于所冇
8、的数域P添加加而成的扩域P(m)都是P(m)=a+bm,(<7,beP)接下來学习的内容否定了我的猜测.定义3：设E是尸的扩或以[E：F]表示E作为F上线性空间的维数，称为E对F的扩张次数.若
9、£：F]=oo,则称为无限次扩域；若｛E：F]=n9则称为有限次(n次)扩域.定理3：设FuHuE是域的扩张，则[E：F]=[E：H][H：F].由定义3,及定理3知：2(V3)=a+eQ),[0丽:Q]=22(72)(73)=o+b",Q,be2(V2))[0(V2)(V3):0(Q]=22(V2)(V3)二q+廉+M+1/V6,[0(72)(73):Q]=4现在求I
10、2(V2)：2I，由于1,逅，佇是0(逅)作为0上的线性空间的i组基，所以[0(匹)：0]=3,既Qd=a+b证+晅,由此判断猜想错误•进一步可以得出:12(V2):Q]=3,[0(阿:Q]=4,[0(迈):Q]=5,[0(逅):Q]=612(V3):Q]=3,[0萌):Q]=4,[0(V3):Q]=5,[0(術):Q]=6I2(V5):Q]=3,[0(圻)：Q=4,[0(V5):Q=5,[0(皓)：0]=6由以上结论猜测：对于数加,设刃为使加"eQ的最小止整数，贝IJ0(加)=0()++(7?加2+•••+,(口€0),[0(加)'Q]=m接下來学习的定
11、理4给出我的猜测的肯定回答：定理4：FuE是域扩张，awE是F上代数元当且仅当有F上不可约多项式/(兀)以Q为根,这样的/(兀)是F上以Q为根的最低次多项式•设6(/(X))=n,则[F(a):F]=a?,且1,⑦…,a""是F(&)作为F上线性空间的基若aeE是F上的超越元，贝lJ[F(a):F]=oo.证明：设aeE是F上的代数元，故p(x)eF[x],使p(a)=O.将p(x)分解成F(x)屮不可约多项式的乘积，卩(兀)二p(x)…几(x),则p(a)=P](Q)・・”(a)=O,由于£屮无零因子，故必有某i,p(a)=O,这个卩即为定理屮所要的不可约多
12、项式/(X).反Z,若冇F上不可约多项
