资源描述：
《近世代数课件(全)-近世代数1-0基本概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、近世代数—绪论初等代数、线性代数、高等代数都称为近世代数（modernalgebra）也称为经典代数（classicalalgebra），研究的对象是代数方程和线性方程组。抽象代数（abstractalgebra），研究的对象是代数系统（带有封闭运算的集合）。10/6/2021学习近世代数的意义由于近世代数在数学的其他分支、近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而它是现代科学技术的数学基础之一，是许多科技人员需要掌握的基本内容和方法，因此近世代数也是数学专业的专业基础课之一。10/6/202
2、1几个有趣的应用实例1.项链问题2.分子结构的计数问题3.正多面体着色问题4.图的构造与计数问题5.开关线路的构造与计数问题6.数字通信的可靠性问题7.几何作图问题8.代数方程根式求解问题10/6/20211.项链问题问题的提法：用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？这里所说的不同类型的项链，指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。10/6/2021数学上的确切描述设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。12354678沿逆时针方向给珠子标号，由于每一颗珠子的颜
3、色有n种选择，因而用乘法原理，这些有标号的项链共有nm种。但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转180度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。10/6/2021例1用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难，采用群论方法解决是最简单、有效的方法。10/6/20212.分子结构的计数问题在化学中研究由某几种元素可合成多少种不同物质的问题，由此可以指导人们在大自然中寻找或人工合成这些物质。例2在一
4、个苯环上结合H原子或CH3原子团，问可能形成多少种不同的化合物？CCCCCCCH3CH3HHHH如果假定苯环上相邻C原子之间的键是互相等价的，则此问题就是两种颜色6颗珠子的项链问题。10/6/20213.正面体着色问题对一个正多面体的顶点或面用n种颜色进下面以六面体为例说明此问题的数学描述。例3用n种颜色对六面体的面着色，问有多首先建立此问题的数学模型，将问题中的一些概念给以量化：少种不同的着色方法？行着色，问有多少种不同的着色方法？10/6/2021设n种颜色的集合为A={a1，a2，…，an}正六面体的面集合为B={b1，b
5、2，b3，b4，b5，b6}则每一种着色方法对应一个映射：f：BA，反之，每一个映射对应一种着色法。由乘法原理，全部着色法的总数为n6，但这样的着色法与面的编号有关，其中有些着色法可适当旋转正六面体使它们完全重合，称它们本质相同，我们要求本质不同的着色法的数目。10/6/2021两种颜色（红、绿）n=26面红5面红、1面绿4面红、2面绿3面红、3面绿2面红、4面绿1面红、5面绿6面绿利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。112221110/6/20214.图的构造与计数问题图论的一些基本
6、概念：设V={v1,v2,…,vn}称为顶点集（vertexset）,E是由V的一些2元子集构成的集合，称为边集（edgeset），则有序对(V,E)称为一个图(graph)，记作G=(V,E)。作图：每一个顶点用圆圈表示，对边集中的每一个元素{i，j}用一条直线或曲线连接顶点i与j，顶点的位置及边的长短，形状均无关紧要。10/6/2021例如设V={1,2,…,10},E={{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{1,5},{1,6},{2,7},{3,8},{4,9},{5,10},{6,8},{7,9},{8,1
7、0},{6,9},{7,10}}图G=(V,E)为12345687910此图为图论中有名的彼得松（Petersen）图10/6/2021例4画出所有点数为3的图123G1G2123123G3123G4123G5123G6123G7123G8故可形成8个图。如果不考虑点号，有些图可以完全重合，这样的图称它们是同构的。例如G2G3G4是同构的。可以看出这8个图中共有4个互不同构的图。问题：n个点的图中互不同构的图有多少个？10/6/20215.开关线路的构造与计数问题一个有两种状态的电子元件称为一个开关，例如普通的电灯开关，二极管等
8、。由一些开关组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路的两端也只有两种状态：通与不通。问题：用n个开关可以构造出多少种不同的开关线路？首先必须对此问题建立一个数学模型，然后用适当的数学工具来解决它。10/6/2021我们用n个变量x1，x2，…，xn代表n个开关，
