近世代数(2)-3

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1、近世代数主讲教师：张广祥辅导课程六子群的陪集重点陪集分解定义设H是G的子群，a∈G，把子集aH={ah│h∈H}称为H在G中的左陪集，注意a∈aH，同样把Ha=ah│h∈H称为右陪集.引理设H≤G，a，b∈G若aH∩bH≠φ则aH=bH.证若x∈aH∩bH则x=ah1=bh2，h1，h2∈H，于是a=bh2h1－1∈bH，aHbH.同样bHaH，因此aH=bH.定理2.9.1设H≤G，则H在G中左陪集个数等于右陪集个数。记这种共同的个数为│G：H│，称为子群H在G中的指数.子群与陪集(续)证由引理G分解为互不相交的左陪集的并集G=a1H+…+asH(加号代表并集符号),这一等式称

2、为左陪集分解.容易证明每aiH=Hai－1,因此G=Ha1－1+…+Has－1.于是G共含s个左陪集，同时G也共含s个右陪集，因此│G：H│=s.定理2.9.2(Lagrange)如果G是有限群，H≤G则│G│=│G:H│·│H│，特别地│H││G│.证由H在G中的左陪集分解G=a1H+…+asH得│G│=s·│H│=│G:H│·│H│证明阶为pm(p为素数)的群一定包含一个p阶群.证取1aG.因

3、G

4、=pm,由Lagrange定理

5、a

6、=ps,sm.只要a1,则有

7、

8、=p.子群与陪集(例)同态与不变子群重点不变子群是一类特重要的子群,由不变子群可以构造商群。定义若H≤G且

9、对每a∈G有aH=Ha,则H称为G的不变子群，记为H△G表示。定理2.10.1-2设N是G的子群,则下面三个条件等价　(1)N△G(2)每a∈G，aNa－1=N　(3)每a∈G，n∈N有ana－1∈N定理2.10.3若N△G，则G/N={aN│a∈G}在陪集的乘法之下成为一个群,这个群称为商群.例整数模n剩余类加群实际上是商群Zn=Z/(n).同态与不变子群（续）重点本节四个定理指出了群同态、不变子群、商群三者的密不可分的关系。定理2.11.1每个群G必与它的任何商群G/N同态。证命φ(a)=aN,则φ:GG/N是群同态。定理2.11.2反过来若有群同态φ:G～，则同态核K=

10、{x∈G│φ(x)=（G的单位元）}△G且G/K。证φ(xy-1)=-1=,故核K是子群,进一步K是正规子群。(x)=xK,则是群同构。同态与不变子群（再续）定理2.11.3设φ：G～是群同态，则（1）对G每个子群H，H的同态象=φ(H)也是G的子群。（2）G的每个不变子群N的象=φ(N)也是G的不变子群。定理2.11.4设φ:G～是群同态，则（1）的子群的逆象H={x∈G

11、φ(x)∈}也是G的子群。（2）的子群的逆象N={x∈G

12、φ(x)∈}也是G的不变子群。同态与不变子群（例）例设两个有限循环群G~H,

13、G

14、=m,

15、H

16、=n.证明n

17、m.证记同态核为K,由定理2.

18、11.2G/KH,故n=

19、H

20、=

21、G/K

22、

23、

24、G

25、=m.注上面例中,对一般的两个群(不必循环群),只要有群同态G~H,则总有

26、H

27、

28、

29、G

30、.