《近世代数》AB模拟练习题

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1、《近世代数》A/B模拟练习题一、判断题（每题4分，共60分）1、是群的子群当且仅当，有（）2、已知是7阶群的子群，则的阶数只可能等于1或7（）3、设是有单位元的交换环，是的素理想，则是域（）4、数域F上的一元多项式环F[x]环不是欧氏环（）5、设是群单同态，则为单点集（）6、设是群同态，为单点集，则必为单射（）7、设是群同态，则为单点集当且仅当为单射（）8、两子群的并一定是子群（）9、已知是群的子群，则也为的子群（）10、已知是域（）11、两子群的并一定是子群（）12、任意置换均可表示为若干个不相交的轮换的乘积（）13、如果循环群

2、G=(a)中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构（）14、设是阶,是它的单位元,则的周期为1（）15、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群（）16、若环R满足左消定律，那么R必定没有右零因子（）17、唯一分解环必是主理想环()18、一个A到A的映射叫做A的一个变换（）19、任何一个群都同一个变换群同构（）20、n次对称群的阶是（）一、证明题（每题20分，共300分）1、设，规定中的元素运算：，证明是群，但不是交换群。2、证明。3、设为有理数域上的一元多项式环,,证明：为的一个极大理想。4、记表示非零复数集合,是模为1的复

3、数集合,表示正实数集合,证明。5、证明。6、设为域上的一元多项式环,是不可约多项式，证明：为的一个极大理想。7、设是给定的正整数，，按照数的通常加法运算，证明：是群。8、设,则为极大理想当且仅当为素数。9、设为域上的一元多项式环,,则为极大理想当且仅当为不可约多项式。10、设<24>和<32>是整数环Z的两个理想，求生成元使得，。11、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。12、叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交仍然是G的一个子群。13、

4、求出模48的剩余类加群的所有子群，这些子群是否是不变子群？14、是A的子环，则也是子环么？也是子环么？15、证明：设H是群G的指数为2的子群，那么H一定是不变子群。