网络教育《近世代数》作业及答案.doc

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1、《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算：一个集合到集合D的映射叫做一个到D的代数运算。2．群的第一定义：一个非空集合G对乘法运算作成一个群，只要满足：1）G对乘法运算封闭；2）结合律成立：对G中任意三个元都成立。3）对于G的任意两个元来说，方程和都在G中有解。3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。4．满射：若在集合A到集合的映射下，的每一个元至少是A中的某一个元的象，则称为A到的满射。5．群的第二定义：设G为非空集合，G有代数运算叫乘法，若：（1）G对乘法封闭；（2）结合律成立；（3）单位元存在；（4）G中任一元在G中都有逆元，则称G对乘法

2、作成群。6．理想：环R的一个非空子集N叫做一个理想子环，简称理想，假若：（1）（2）7．单射：一个集合A到的映射，，，叫做一个A到的单射。若：。8．换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。9．环：一个环R若满足：（1）R至少包含一个不等于零的元。（2）R有单位元。（3）R的每一个非零元有一个逆元，则称R为除环。10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。11．群的指数：一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H在G里的指数。12．环的单位元：设R是一个环，，若对任意的，都有，则称e是R的单位元。二．判断题1．是集合列

3、集合D的映射，则不能相同。(×)2．在环到环的同态满射下，则的一个子环S的象不一定是的一个子环。(×)3．设N为正整数集，并定义，那么对所给运算能作成一个群。(√)4．假如一个集合A的代数运算适合交换率，那么在里，元的次序可以交换。(×)5．在环R到的同态满射下，得一个理想的逆象N一定是R的理想。(√)6．环R的非空子集S作成子环的充要条件是：1）若则；2），则。(√)7．若是A与间的一一映射，则是与A间的一一映射。(√)8．若是整环I的一个元，且有逆元，则称是整环I的一个单位。(√)9．设与分别为集合A到B和B到C的映射，如果，都是单射，则是

4、A到C的映射。(√)10．若对于代数运算，A与同态，那么若A的代数运算适合结合律，则的代数运算也适合结合律。(√)11．整环中一个不等于零的元，有真因子的冲要条件是。(×)12．设F是任意一个域，是F的全体非零元素作成的裙，那么的任何有限子群G必为循环群。(√)13.集合A的一个分类决定A的一个等价关系。(√)14.设,均为群G的子群，则也为G的子群。 (×)15.群G的不变子群N的不变子群M未必是G的不变子群。(√)三．证明题1．设G是整数环Z上行列式等于1或-1的全体n阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G作成一个群。证：G显然非空，又

5、任取A，B，则，于是AB是整数方阵，且，故，即G对乘法封闭。结合律显然成立，且E是G单位元。又设，由于A是整数方阵，故A的伴随矩阵也是整数方阵；又故，即也是整数方阵，即G中每一个元在G中都有逆元，从而证得G作成一个群。2．设G=（a）是循环群，证明：当时，G=（a）与整数加群同构。证：设，则当时，，于是映射：就是G=（a）到整数加群Z的一个一一映射。又，故是G到Z的同构映射。即G=（a）与整数加群Z同构。3．证明：高斯整环中的单位有且只有，。证：显然是Z[i]的单位，设x=a+bi是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di使xy=(a+bi)(

6、c+di)=1而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i既有：ac-bd=1,ad+bc=0(1)从而又ad=–bc代入前式有：（，即

7、a若a=0,则由（1）有bd=–1,只有b=,即。若，则由

8、a得b=0,a=,即x=,因此证得：Z[i]的单位元只有。4．设G是由以下四个二阶方阵作成的集合证明：G对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。证：由题设可列乘法表：abcdaabcdbbadcccdabddcba由此表可知：方阵普通乘法是G的代表运算，a是G的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素G中都有

9、逆元，结合率显然成立。故G对方阵普通乘法作成一个交换群。5.证明：在群G中只有单位元满足方程。证：设e是群G的单位元，则e显然满足方程另外设且，则有即a=e,即只有e满足方程。6．证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。证：因为为素数，则（以及）是Z[i]的不可约元，且显然有分解：若设不可约）则且，这只有，且不妨设5=ab且则只能，即5=，即5有唯一分解。7．令G=，且G有如下乘法：eabeeabaabebbea证明：G对此乘法作成一个群。证：由乘法表可知，G对所给乘法封闭，e是单位元，又，，，即每个元素在G中都有逆元，因此要证

10、G是一个群，只要再证结合律成立即可。任取，则显然有：其次令，且，则由乘法表知：，可知结合律成立。8．设R是一个环，证明：1）若R中左右单位元同时存在，