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1、1：证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。（4）零元是零矩阵。A∈Mn(R),A+0=0+A=A。（5）A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。∴（Mn(R),+）构成一个Abel群。2：证明：实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。证明：显然GLn(R)是个非空集合。对于
2、任何的A,B∈GLn(R)，令C=AB,则C=
3、AB
4、=
5、A
6、
7、B
8、≠0,所以C∈GLn(R)。⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。⑵对任意A∈GLn(R)，AE=EA，所以E是单位元。⑶任意的A∈GLn(R)，由于∣A∣≠0,∴的逆矩阵，满足且∴A的逆元是.所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。3：证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群.证：（1）由于E∈On(R),∵On(R)非空。(2)任意A,B∈On(R)，有（AB）T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1,∴AB
9、∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。(3)∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。（4）对任意A∈On(R)，有AE=EA=A．∴E为On(R)的单位元。（5）对任意A∈On(R)，存在AT∈On(R)，满足AAT=E=AA-1,ATA=E=A-1A．∴AT为A在On(R)中的逆元。∴On(R)关于矩阵的乘法构成一个群。4：证明：所有行列式等于1的n阶整数矩阵组成的集合SLn(Z),关于矩阵的乘法构成群。证明：∵En∈SLn(Z)，∴SLn(Z)是个非空集合。对任意A,B∈SLn(Z),记C=AB,则C是整数
10、矩阵，且C=∣AB∣=∣A∣∣B∣=1,∴C∈SLn(R)，即SLn(R)关于矩阵的乘法封闭。（1）∵矩阵乘法有结合律，∴结合律成立。（2）对任意的A∈SLn(Z)，AE=EA=A,且E∈SLn9Z),∴A的单位元是单位矩阵E。（3）对任意的A∈SLn(Z),因为A∈Mn(Z),故∈Mn(Z),又且,所以∈SLn(Z),又,故的逆元为。所以，SLn（Z）关于矩阵乘法构成群。5:在整数集中,规定运算“∈”如下：a⊕b=a+b-2,a,b∈Z.证明：（Z,⊕）构成群。证（1）对于任意a，b⊕Z有a⊕b=a+b-2∈Z，于是“⊕”在Z上
11、构成代数运算。（2）对于任意a，b∈Z有，（a⊕b）⊕c=a+b+c-4．a⊕(b⊕c)=a⊕(b+c-2)=a+b+c-4，∴(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)于是结合律成立．（3）对于任意的a，b∈Z，a⊕b=a+b-2=b+a-2=b⊕a，那么“⊕”在Z上有交换律。（4）对于任意的a∈Z，有2⊕a=2+a-2=a，∴2为单位元．（5）对于任意的a∈Z，有4-a∈Z．(4-a)⊕a=4-a+a-2=2，∴4-a为a的逆元。∴（Z,⊕）构成群。6：分别写出下列各群的乘法表。（1）例6中的群；1-1i-i11-1i-i-1-11-ii
12、iI-i-11-i-ii1-1(3)群Z7*；123456112345622461353362514441526355316426654321(4)群U(18).1571113171157111317557171111377171351111111151317713131111775171713117517：设G=证明：G关于矩阵的乘法构成群。证：记=aI，I=。（1）G非空，∈G。（2）aI,bI∈G，则a,b∈R,a,b0，∴2ab0,aIbI=2abI∈G。（3）a,b,c∈R,且a,b,c0,有（aIbI）cI=2abIc
13、I=4abcI=aI2bcI=aI(bIcI),结合律成立。（4）单位元为I∈G.a∈R,a0,aI(I)=IaI=aI。（5）aI∈G，则I∈G。aI(I)=(I)aI=I。∴（G，•）为群。8：证明：所有形如的有理数（m，nZ）的集合关于数的乘法构成群。证明：记G={
14、m，nZ}（1）G是一个非空集合；（2）G，有=G，是G上的一个代数运算；（3）结合律，交换律均成立（数的乘法满足结合律和交换律）；（4）1是单位元。1=G，且1=；（5）G，有G，且=1；G关于数的乘法构成群。9：证明：所有形如的3*3实矩阵关于矩阵的乘法构成
15、一个群。这个群以诺贝尔物理学奖获得者海森伯（Heisenberg）的名字命名，称为海森伯群（Heisenberggroup）。证：（1）显然非空。（2）保持代数运算：。（3）结合律：（4）单位元为，==。（5）∈G，∈G，使==。∴G构成群。10：
