近世代数答案.pdf

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1、AnswertoChapter19.设S为群G的一个非空子集，在G中定义一个关系aRb当且仅当ab−1∈S.证明这是一个等价关系的充分必要条件为S是一子群.Proof."必要性"：假设R为G上的等价关系，下证S为G的子群。对任意的a;b∈S，我们需证ab−1∈S。对任意的b∈S,be−1=b∈S，由关系的定义知，bRe。因为R为等价关系，所以eRb。对任意的a;b∈S，则我们有aRe;eRb，由等价关系的传递性，我们有aRb,推出ab−1∈S。"充分性"：假设S为G的一个子群，下证R为G上的一个等价关系。1)∀a∈G;aa−1=e∈S⇒a

2、Ra;2)∀a;b∈G，若aRb,则ab−1∈S。因为S

3、G

4、=2n;H

5、H

6、=n。我们需证∀g∈G;gH=Hg。1)如果g∈H,那么gH=H=Hg显然成立；2)如果g∈H，考虑由H诱导的G的左右陪集的划分，G=H∪gH=H∪Hg:我们有gH=Hg。17.如果G为一交换群，证明G

7、中全体有限阶元素组成一子群。Proof.设S表示G的阶有限元素全体，e∈S,所以S非空。设x;y∈S，且o(x)=m;o(y)=n。易知o(y−1)=o(y)=n。所以(xy−1)mn=e,推出xy−1∈S。特别地，S

8、存在x∈H;y∈K,xy=k−1h−1。两边同时取逆，hk=y−1x−1∈KH，由hk的任意性知HK⊂KH.假设HK=KH，下证HK

9、x∈H}.如果HK

10、H−1⊂HKH−1=HKH⊂HHK⊂HK。特别地,∀x;y∈HK;xy−1∈HK，所以HK

11、H

12、由Lagrange定理知m=

13、H∩K

14、.HK=(h1(H∩K)∪···∪hm(H∩K))K,因为H∩K

15、义知，hiK=hjK,推出hihj∈K，−1−1但是hihj∈H，所以hihj∈H∩K。特别地，hi(H∩K)=hj(H∩K)，与H∩K的划分矛盾，所以上述交为不交并。因此

16、H

17、

18、K

19、

20、HK

21、=m

22、K

23、=:

24、H∩K

25、22.Proof.i)MN=∪m∈MmN。因为N为正规子群，所以∀m∈M;mN=Nm。所以MN=∪m∈MmN=∪m∈MNm=NM;ii)由i)知,MN

26、1m∈M;nn−1∈N，所以m−1m=e=nn−1，i.e.m=1111m1;n=n1。上述定义为良定的;显然f为满射。下证f为群同态.对任意的mn;mn∈MN，mnmn=mmn′n（事实上可以证明此11221122122时M与N乘法交换,i.e.mn=nm），所以f(mnmn)=f(mmn′n)=1122122m1m2=f(m1n1)f(m2n2)。易知kerf=N,由同态基本定理知MN=N∼=M。23.Proof.i)对任意的x;y∈C(S);a∈S,ya=ay⇒y−1a=ay−1，所以xy−1a=axy−1，特别地xy−1∈C(S

27、),所以C(S)