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1、练习题第一次作业1、设A={xxR,x5},B={xxR,-6x<0}.求AB，AB，AB，BA。2、设A，B是U的子集，规定A+B=(AB)(BA)。证明：(1)A+B=B+A(2)A+=A(3)A+A=。3、求下列集合的所有子集：(1)A={a,b,}(2)B={}(3)C={1}4、设f：AB和g：BC是映射，证明：(1)如果f和g是单射，则gf是单射(2)如果f和g是满射，则gf是满射(3)如果gf是单射，则f是单射(4)如果gf是满射，则g是满射.5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f,g,h:f:x
2、3xg:x3x+1h:x3x+2(1)计算fg,gf,gh,hg,fgh(2)分别求f,g,h的一个左逆映射(3)求f,g,h的一个共同的左逆映射(4)求f,g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。6、设R是实数集合，在RR上规定二元关系“~”为：（a,b）~(c,d)a+d=b+c证明“~”是R上的一个等价关系。7、设A={a,b,c,d,e},S={{a},{b},{c,d,e}},求A上的一个等价关系R，使A在R下的分类恰为S。1158、设A={1，2，3，4}，在幂集中规定二元关系“~”：S~TS与T所含
3、元素个数相同证明“~”是上的一个等价关系，并写出商集/~。第二次作业1、设G={(a,b)a,bR,a0},规定G中元素运算：(a,b)(c,d)=(ac,bc+d)证明：G是一个群，但不是交换群。2、设G={a,b,c},G的乘法表如下：abcaabcbabccabc证明：（G，）是一个半群。3、设G是群，证明：(1)如果G的每一个元素a的逆元还是a本身，则G是交换群，举例说明反之不对。(2)如果G是非交换群，则存在元素a、bG,ab,并且它们均非单位元，使得ab=ba.4、在对称群中计算：(1243)(354),
4、(2143)(1324),(12345)(12345)5、设=（123456），计算。6、将对称群中如下元素表示成不相连的循环置换乘积和对换乘积7、设,,如果=()，证明：115=(()()())8、在中，求(124)生成的子群H的所有元素。9、设G是群，C(G)={xxG,yG,xy=yx},证明：C(G)是G的子群。(称C(G)是群G的中心)。10、设H={(1),(234),(243)}，证明：H是4次对称群的子群。H是否为不变子群？11、设A，B是群G的子群，证明AB是G的子群的充分且必要条件是AB=BA。1
5、2、证明有理数加群Q关于Z的商群（，+）的任意有限子群都是循环群。13、设p,q是两个不同的素数，问：pq阶循环群的生成元有几个？求25阶循环群的所有生成元。14、设G=（R-{0}，）,证明：f：GG：x是群同态，但g：GG：x2x不是群同态。15、设f：G是群满同态，H是G的不变子群，并且Ker(f)H,证明：f(H)是的不变子群，并且16、设G和H都是有限群，G与H互素，证明G到H并且H到G的群同态都是唯一的。17、证明：。18、设A，B是群G的两个不变子群，并且G=AB，证明：19、证明群G在左商集上的作用的
6、核是含在H中G的最大不变子群。即如果f：GE()使f(a)(xH)=axH,则Ker(f)是含在H中的G的最大不变子群。11520、设G是群，A是G的一个非空子集，记={xxG,xA=Ax},证明：(1)是G的子群。(2)如果=G，则A是G的不变子群吗？第三次作业1、设R是交换环，证明：(1)R中任意两个幂零元的和仍然是幂零元。(2)R中任意元素与幂零元的乘积是幂零元。(3)R中可逆元与幂零元的和是可逆元。2、设R是一个元素个数大于1的有限集，证明：关于数的加法和乘法，R不能构成环。3、在中计算下面两个多项式的加法运
7、算和乘法运算：f(x)=,g(x)=4、求出中次数不超过2的所有可逆多项式。5、在环中，求元素。6、在整数环Z中，求生成元a,b使得=<24>+<36>,=<24><36>.7、设、、、都是环R的理想，如果证明这些理想的并集是R的理想。8、设f：R是环的满同态，证明：(1)如果R是交换环，则也是交换环。(2)举例说明：是交换环，但R未必是交换环。9、证明整数环Z到其自身的环同态只能是零同态或是恒等同态。10、设R是有单位元1的环，证明是多项式环的真子环（即不等于的子环），并且有环同构：。1151、设={a
8、+bia,bZ},,证明：(1)按复数的通常运算，是一个整环。（通常称是高斯整环）(2)如果p是一个素数，证明。12、R是无单位元的环，A是R的理想，如果是R的有单位元的典范扩张环，则是的理想，并求商环。(1)讨论有理数域Q上关于加法群的自同态环。(2)在有理系数多项式环Q[x]中，证明：是极大理想，也是素理想。13、设p是素数，在偶数环
