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时间:2020-03-09
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1、2.2直接证明与间接证明类型一:综合法1.如图,设在四面体中,,,是的中点. 求证:垂直于所在的平面. 思路点拨:要证垂直于所在的平面,只需在所在的平面内找到两条相交直线与垂直.解析:连、因为是斜边上的中线,所以又因为,而是、、的公共边,所以于是,而,因此∴,由此可知垂直于所在的平面.总结升华:这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家,供参考: (1)由已知是斜边上的中线,推出,记为(已知); (2)由和已知条件,推出三个三角形全等,记为;(3)由三个三角形全等,推出,记为;(4)由推出,记为(结论).
2、 这个证明步骤用符号表示就是(已知)(结论).举一反三:【变式1】求证:.【答案】待证不等式的左端是3个数和的形式,右端是一常数的形式,而左端3个分母的真数相同,由此可联想到公式,转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.∵,∴左边∵, ∴.【变式2】在锐角三角形ABC中,求证: 【答案】∵在锐角三角形ABC中,,∴,∵在内正弦函数单调递增,∴,即同理,,∴类型二:分析法2.求证:思路点拨:由于本题所给的条件较少,且不等式中项都是根式的形式,因而用综合法证明比较困难.这时,可从结论出发,逐步反推,寻找使命题成立的充分条件;此外,若注意到,,也可用
3、综合法证明. 法一:分析法要证成立,只需证明,两边平方得,所以只需证明,两边平方得,即,∵恒成立,∴原不等式得证.法二:综合法∵,, ,∴.∴.∴.即原不等式成立.举一反三:【变式1】求证:【答案】∵、、均为正数∴要证成立,只需证明,两边展开得即,所以只需证明即, ∵恒成立,∴成立.【变式2】求证: 【答案】法一:要证成立,只需证明,即只需证明即,∵恒成立,∴成立.法二:∵ ∴, ∴【变式3】若求证:.【答案】由,得,即(*)另一方面,要证, 即证,即证, 化简,得. ∵上式与(*)式相同.所以,命题成立.类型三:反证法3.设二
4、次函数中的、、均为奇数,求证:方程无整数根.思路点拨:由于要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰,所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论.证明:假设方程有整数根,则成立,所以. 因为为奇数,所以也为奇数,且与都必须为奇数.因为已知、为奇数,又为奇数,所以为偶数,这与为奇数矛盾,所以假设不成立,原命题成立.总结升华:反证法适宜证明“存在性”、“唯一性”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.举一反三:【变式1】若都为实数,且,,, 求证:中至少有一个大于0.【答案】假设都不大于0,则,,,所以又
5、 . 因为,,,,所以,所以,这与矛盾,所以假设不成立,原命题成立.【变式2】设函数在内都有,且恒成立,求证:对任意都有.【答案】假设“对任意都有”不成立,则,有成立, ∵,∴又∵这与矛盾,所以假设不成立,原命题成立.【变式3】已知:,求证【答案】假设,则成立,所以. 因为,所以,所以,这与矛盾, 所以假设不成立,原命题成立.学习成果测评基础达标:1.要证明可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.归纳法 2.设,,则的大小关系是()A. B. C. D.3.已知
6、函数,,则是大小关系为() A. B. C. D. 4.至少有一个负实根的充要条件是()A. B. C. D.或5.如果都是正数,且,求证:.6.已知都是正数,,且,求证:.7.用反证法证明:如果,那么.能力提升:8.已知a3+b3=2,求证:a+b≤2.9.已知a,b是正实数,求证:.综合探究:10.求证:正弦函数没有比小的正周期.参考答案:基础达标:1.B2.C解析:假设,即. ,∴, ∴,显然不成立,∴. 3.A解析:∴∴.又函数是减函数,∴. 4.C解析:(1)当时,,符合题意;(2)当时,要使方程有一正一负根,
7、只需,即;要使方程有两个负根,只需解得.综上可知,.5.证明:因为= =,又因为且,所以, 即。6.证明:要证原式成立,则只需要证明,即只需要证明(*)即证明.因为,所以(*)式可变形为即,因为都是正数,所以要证原式成立,只需证明因为对于一切,显然成立.所以原不等式得证.7.证明:假设,则.容易看出,下面证明.因为,所以,即,从而,变形得综上得,这与已知条件矛盾。因此,假设不成立,即原命题成立.能力提升:8.证明:假设a+b>2,则b>2-a,∴b3>(2-a)3∴a3+b3>a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2≥
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