直接证明与间接证明.docx

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1、2.2直接证明与间接证明类型一：综合法1．如图，设在四面体中，，，是的中点.　　　　　　求证：垂直于所在的平面.　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：要证垂直于所在的平面，只需在所在的平面内找到两条相交直线与垂直.解析：连、因为是斜边上的中线，所以又因为,而是、、的公共边，所以于是,而，因此∴，由此可知垂直于所在的平面.总结升华：这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：　　（1）由已知是斜边上的中线，推出，记为（已知）；　　（2）由和已知条件，推出三个三角形全等，记为；（3）由三个三角形全等，推出，记为；（4）由推出，记为（结论）.　

2、　　　这个证明步骤用符号表示就是（已知）（结论）.举一反三：【变式1】求证：.【答案】待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.∵，∴左边∵，　　　　　　∴.【变式2】在锐角三角形ABC中，求证：　　【答案】∵在锐角三角形ABC中，，∴，∵在内正弦函数单调递增，∴,即同理，，∴类型二：分析法2．求证：思路点拨：由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难.这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到，，也可用

3、综合法证明.　　法一：分析法要证成立，只需证明，两边平方得，所以只需证明，两边平方得，即，∵恒成立，∴原不等式得证.法二：综合法∵，，　　，∴.∴.∴.即原不等式成立.举一反三：【变式1】求证：【答案】∵、、均为正数∴要证成立，只需证明，两边展开得即，所以只需证明即，　　　　　∵恒成立，∴成立.【变式2】求证：　　【答案】法一：要证成立，只需证明，即只需证明即，∵恒成立，∴成立.法二：∵　∴，　　　　　∴【变式3】若求证：.【答案】由，得，即（*）另一方面，要证，　　　　　即证，即证，　　　　　化简，得.　∵上式与(*)式相同.所以，命题成立.类型三：反证法3．设二

4、次函数中的、、均为奇数，求证：方程无整数根.思路点拨：由于要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论.证明：假设方程有整数根，则成立，所以.　　　　　因为为奇数，所以也为奇数，且与都必须为奇数.因为已知、为奇数，又为奇数，所以为偶数，这与为奇数矛盾，所以假设不成立，原命题成立.总结升华：反证法适宜证明“存在性”、“唯一性”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.举一反三：【变式1】若都为实数，且，，，　　求证：中至少有一个大于0.【答案】假设都不大于0，则，，，所以又　　　

5、　　　　　　　.　因为，，，，所以，所以，这与矛盾，所以假设不成立，原命题成立.【变式2】设函数在内都有，且恒成立，求证：对任意都有.【答案】假设“对任意都有”不成立，则，有成立，　　　　　　∵，∴又∵这与矛盾，所以假设不成立，原命题成立.【变式3】已知：，求证【答案】假设，则成立，所以.　　　　　因为，所以，所以，这与矛盾，　　　　　所以假设不成立，原命题成立.学习成果测评基础达标：1．要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A．综合法　　　B．分析法　　　C．反证法　　　D．归纳法　　2．设,,则的大小关系是()A．　　　B．　　　C．　　　D．3．已知

6、函数，，则是大小关系为（）　A．　　　B．　　　　C．　　　　D．　　4．至少有一个负实根的充要条件是（）A．　　　B．　　　C．　　　D．或5．如果都是正数，且，求证：．6．已知都是正数，，且，求证：．7．用反证法证明：如果，那么．能力提升：8．已知a3＋b3=2,求证：a+b≤2.9．已知a,b是正实数，求证：.综合探究：10．求证：正弦函数没有比小的正周期.参考答案：基础达标：1．B2．C解析：假设,即.　,∴,　　　　　　　∴,显然不成立,∴.　　3．A解析：∴∴．又函数是减函数，∴．　　4．C解析：（1）当时，，符合题意；（2）当时，要使方程有一正一负根，

7、只需，即；要使方程有两个负根，只需解得．综上可知，．5．证明：因为＝　　　　　　　　　＝，又因为且，所以，　　　　　　即。6．证明：要证原式成立，则只需要证明，即只需要证明（＊）即证明．因为，所以（＊）式可变形为即，因为都是正数，所以要证原式成立，只需证明因为对于一切，显然成立．所以原不等式得证．7．证明：假设，则．容易看出，下面证明．因为，所以，即，从而，变形得综上得，这与已知条件矛盾。因此，假设不成立，即原命题成立．能力提升：8．证明：假设a+b＞2,则b＞2-a，∴b3＞(2-a)3∴a3＋b3＞a3＋(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2≥