随机过程-均方微积分.ppt

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1、第三章均方微积分§3.1随机变量序列的均方极限§3.2随机过程的均方连续性§3.3随机过程的均方导数与均方积分§3.1随机变量序列的均方极限回顾数列的极限：实际上是指当无限增大时，与的距离无限趋近于0.2问题：可否类似地给出随机变量序列的“极限”？答：可以！关键在于确定随机变量序列中任意与随机变量的“距离”.3[定义]设随机变量序列和随机变量的二阶矩有限，即，，若有，则称均方收敛于，并称为的均方极限，记作或其中l.i.m是英文Limitinmeansquare的缩写.若以作为与的“距离”，可验证它满足线性空间中的距离定义．4[例1]设为随机变量序

2、列，其中满足，，验证均方收敛于0.证明故而，当5问题：随机变量序列的均方收敛与大数定律中所涉及的依概率收敛相比，两种收敛性孰强孰弱？答：均方收敛性强于依概率收敛！[例2]设为随机变量序列，其中满足，问：为何值时，均方收敛于0？解：故时，均方收敛于0.均方极限的性质（1）若，则；6已知要证分析关系均方极限的性质（1）若，则；（2）若，，则；7已知要证分析关系Cauchy-Schwartz不等式均方极限的性质（1）若，则；（2）若，，则；（3）若，，则对任意常数和，有；8已知要证分析关系均方极限的性质（1）若，则；（2）若，，则；（3）若，，则对任意

3、常数和，有；（4）若数列满足，是随机变量，则；9已知要证分析关系均方极限的性质（1）若，则；（2）若，，则；（3）若，，则对任意常数和，有；（4）若数列满足，是随机变量，则；（5）若，，则10——均方极限的唯一性§3.2随机过程的均方连续性[定义1]设为二阶矩过程，随机变量的二阶矩有限，若则称在处均方收敛于，并称为的在时刻的均方极限，记作.[定义2]如二阶矩过程满足，对，若则称在处均方连续；若在每一点处都是均方连续的，则称在上均方连续.11§3.3随机过程的均方导数与均方积分[定义1]若随机过程在处的下述均方极限存在，则称此极限为在处的均方导数，

4、记为或，此时亦称在处均方可导.一、均方导数1、均方导数的定义注：若在的每一点处均方可导，则称在上均方可导或可微，此时均方导数记为或，是一个新的随机过程。12[例]求随机过程的均方导数，其中是一随机变量.13解从形式上，易知对t求导后，下面验证：满足定义，所以时，（1）若在均方可导，则对任意常数和，有2、均方导数的性质（2）的均方导数的均值函数是14验证（1）若在均方可导，则对任意常数和，有2、均方导数的性质（2）的均方导数的均值函数是（3）的均方导数的相关函数是15（4）若X是随机变量，则163、均方导数与自（互）相关函数关系设实二阶矩过程均方可

5、微，自相关函数为，则，，都存在，且有验证173、均方导数与自（互）相关函数关系设实二阶矩过程均方可微，自相关函数为，则，，都存在，且有[定义2]设随机过程，为任意普通函数：二、均方积分1、均方积分的定义18(1)分割T=[a,b]。将[a,b]分成n个子区间，分点为，而(2)作和式其中特别地，若时，即有(3)如果在时，均方收敛于（此极限不依赖于分点与的取法），则称在上均方可积，并称的均方极限为在上的均方积分，记为19[性质]设在上均方可积，则有20应用若则2、均方积分的性质