随机过程的均方微积分

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1、画家、仆人与小偷抽象的价值：类与对象小故事第六讲：随机过程的均方微积分主讲人：张有光引言信号与系统信号描述、线性系统线性时不变系统=常系数微分方程随机信号、线性系统需要建立微分、积分的概念需要建立极限、连续的概念主要内容随机过程—均方收敛随机过程—均方连续随机过程—均方微分随机过程—均方积分一、随机过程的均方收敛1、随机序列依概率收敛2、随机序列依均方收敛3、均方收敛的主要性质4、随机过程的均方极限1、依概率收敛—回顾定义设为一随机变量序列，为一个随机变量，若对任意小的正数，恒有：则称依概率收敛于随机变量X。2、均方收敛设为一随机变量序列，为一个随机变量，若,且记为均方收敛则称均方收敛于，

2、或者说是的均方极限，记为：或简记为：由于则均方收敛一定依概率收敛！3、均方收敛的主要性质均方收敛的主要性质4、随机过程的概率极限设为一随机过程，为一个随机变量，若对任意小的正数，恒有：则称依概率收敛于随机变量4、随机过程的均方极限设随机过程和变量X都有二阶矩，若或则称均方收敛于X或者说X是的均方极限，记为：二、随机过程的均方连续性均方连续的定义均方连续性定理均值函数连续性1、均方连续定义：设X(t)为随机过程，若对于t∈T,则称随机过程X(t)在t点均方连续，如果对于任意的t∈T，X(t)都是均方连续，则称X(t)在T域上均方连续。2、均方连续性条件X(t)在时刻t均方连续的充要条件是：相

3、关函数在(t,t)处连续。特别的对平稳过程证明：3、均值函数连续性若随机过程均方连续，则其均值函数必定连续，即证明：4、均值连续性－说明左边为普通函数极限右边为随机过程极限均值运算与极限运算交换顺序三、随机过程的均方微分均方微分的基本定义均方可微的充要条件均方导数的均值函数含有微分的相关函数1、均方导数的定义设X(t)为一随机过程，若存在随机过程,使得对于,有则称X(t)在t点均方可微，且称为点在t点的均方导数。若对于每一t∈T，X(t)都均方可微，则称X(t)在T域上均方可微。2、均方微分（导数）变换对于区域T上处处可导的随机过程对应就有导数随机过程，那么称该变换为微分（导数）变换。很容

4、易验证该变换是线性时不变的。2、均方可微的充要条件随机过程X(t)在T上均方可微的充要条件是：其相关函数的二阶导数对于对角线上的每一点上存在。对于平稳过程有举例：已知随机过程的相关函数为问是否均方连续，均方可微？3、均方导数的均值若随机过程X(t)，t∈T是均方可微的，则X(t)的这些均方导数的均值存在，且为均值运算与导数运算可以交换顺序4、含有微分的相关函数若对于每个t∈T，在(t,t)上二阶广义导数存在，则在上偏导数存在且有界同理对于平稳过程在同一时刻是互不相关对于平稳过程(d)n阶导数如果随机过程是平稳的，且存在，则其n阶微分过程也是平稳的，且如果随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳

5、的，则有5、导数过程Y(t)的功率谱类似地四、随机过程的均方积分均方积分的基本定义均方可积的充要条件均方积分的均值函数均方积分的相关函数1、均方积分的定义定义：设X(t)为一个随机过程，a,b∈T,且均方积分的定义若和式具有均方极限，则称随机过程在区间[a,b]上均方可积（黎曼可积）。其极限称为X(t)在区间[a,b]上的均方积分。记为：即：2、均方可积的充要条件随机过程X(t)在[a,b]上均方可积的充要条件是：在矩形域上均方黎曼可积。随机过程均方黎曼积分的性质取决于它的自相关函数的普通黎曼积分的性质。3、均方积分的均值若随机过程X(t)在[a,b]及[c,d]上均方可积，则有4、均方积

6、分的相关函数同样条件下5、随机过程的积分变换若随机过程在域[a,b]上均方可积，且输出过程为1）输出过程的均值若为平稳过程，均值为常数c，则输出过程均值函数为c(t-a)5、随机过程的积分变换2）输出过程的自相关函数5、随机过程的积分变换3）输出过程的协方差函数对于X(t)平稳过程，其协方差函数：小结如何理解均方微积分？从普通微积分平移到均方微积分自相关函数描述连续、导数和积分微分与积分作为线性变换，来看输出自相关、输入与输出互相关作为平稳随机过程，以上2、3有更进一步的结论习题P128第2~5