随机过程在金融中的应用之随机分析及均方微分方程.ppt

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1、第四章随机分析及均方微分方程第一节二阶矩过程第二节均方极限第三节均方连续性第四节均方导数第五节均方积分第六节均方黎曼—司蒂吉斯积分第七节均方导数与均方积分的分布第八节均方微分方程第一节二阶矩过程定义则称为二阶矩过程首页例1其中和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1）的随机变量，解由于和V都服从正态分布，所以也具有正态分布，且首页性质二阶矩过程的协方差函数一定存在证由许瓦兹不等式得故即二阶矩过程的协方差函数存在注首页说明在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零，这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。返回首页第二节均方极限一、均方收敛定义1设随机变量序列{，n=1,

2、2,…}和随机变量X都存在二阶矩，如果则称{}均方收敛于X，或称X是{}的均方极限记作或简记为首页二、均方收敛准则定理1柯西准则则均方收敛的充要条件为证只证必要性因为均方收敛于X，所以有首页又由所以故首页注等价存在其说明随机变量序列均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。三、均方收敛性质性质1若则证由许瓦兹不等式得因故得证注当均方收敛于X时，的期望收敛于X的期望首页性质2若则证由许瓦兹不等式得因故得证首页性质3若则对任意常数a、b都有证因为故得证首页性质4若则注因=证于是即返回首页第三节均方连续性均方收敛定义1即则称在点t均方连续。一、均方连续称在

3、时均方收敛于首页二、均方连续准则定理1则证充分性则所以首页再证必要性又由均方收敛性质2得定理2证由定理1知，首页再由均方收敛性质2，得即首页定理3则证由均方连续定义从而说明在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。首页例1试讨论其均方连续性。解泊松过程的均值、方差函数为则相关函数首页同样因此由于故注此例说明均方连续的随机过程，其样本曲线不一定是连续的。返回首页第四节均方导数一、均方导数的定义定义1如果均方极限存在则称在t处均方可微，并将此极限记作即有或首页二次均方可微二阶均方导数定义

4、2广义二次可微存在首页二、均方可微准则定理1证由均方收敛准则知的充要条件是存在而存在首页三、均方导数的性质性质1性质2首页性质3性质4证1首页其它类似可证性质5首页四1．证注均方导数的均值等于均值函数的导数。而为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。首页2.证首页注求偏导数得到。3．证明首页即同理可得又因故首页注随机过程的相关函数求两次混合偏导数。例1证明返回首页第五节均方积分一、均方黎曼可积定义1分割作和式如果则称并称记作即首页二、均方可积准则定理1即黎曼积分存在证由均方收敛准则可知，即存在首页如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分首页定理2证明由定理

5、1知，三、均方积分的性质性质1首页性质2其中性质3首页性质4性质5（均方可积的唯一性）四、均方积分的数字特征1．随机过程积分的期望首页证注1注2首页2．均方积分的方差及协方差函数则证首页注同样可以证明3．均方积分的自相关函数及互相关函数则首页证只证明其他类似可证首页例1解在定义中可取则所以首页例2解讨论维纳过程的均方可积性。且有由于对一切有穷的u存在，首页例3解设所以首页同样可得故得返回首页第六节均方黎曼—司蒂吉斯积分一、定义1、有界变差函数对任意一组点作和式变差如果对一切可能的分组点，变差所形成的数集有界，有界变差函数首页2、Rieman—Stieltjes积

6、分记如果均方极限存在并与分割和的取法无关，首页则均方黎曼—司蒂吉斯积分记为二、和积分存在条件定理1首页则存在则存在（1）（2）定理2且有注反之也成立。首页定理3三、期望与二阶矩返回首页第七节均方导数与均方积分的分布一、特征函数族问题如何利用随机过程的特征函数族，求出其均方导数及均方积分的特征函数族定理1其有穷维特征函数族为（1）若的均方导数存在，有首页（2）有其中首页二、正态过程的均方导数、积分的性质性质1即对每个i有则X也是k维正态随机向量。性质2首页性质3则也是正态过程三、正态过程的均方导数、积分的特征函数定理2（1）特征函数为首页（2）则返回首页第八节均方

7、微分方程一、考察随机微分方程其中是二阶矩过程，是二阶矩随机变量。1微分方程在均方意义下的唯一解是2微分方程解的均值和相关函数首页（在与独立时）的均值函数的相关函数当注有此时有首页微分方程的解的均值函数与相关函数完全由与的相关函数所决定。注二、考察一阶线性微分方程其中是普通的函数，是二阶矩过程，是二阶矩随机变量。1．方程的解定理1一阶线性微分方程的解为首页证显然其次，利用求导验证即可。首页2．均值与相关函数均值相关函数首页随机微分方程例1其中为平稳过程且试求的均值与自相关函数解直接对所给方程两边取均值首页解之得自相关函数当时，只要在上式中交换的位置便可求得返回首页