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1、第三章二阶矩过程的均方微积分3.1随机变量序列的均方极限3.2随机过程的均方连续性3.3随机过程的均方导数3.4随机过程的均方积分3.5正态随机过程的均方微积分返回第二章基本要求°1了解均方极限的概念了解均方极限的简单性质会求简单的随机过程的均方极限°2了解均方连续性的概念了解均方连续性的简单性质会确定简单的随机过程的均方连续性°3了解均方导数的概念了解均方导数的简单性质会求简单的随机过程的均方导数及了解均方导数的简单性质°4了解均方积分的概念了解均方积分的简单性质会求简单的随机过程的均方积分及了解均方积分的简单性质°5了解正态过程的均方微积分性质°为了深入地研究随机
2、过程如要讨论随机信号的线性变换就必须借助于随机过程的微分与积分知识因此有必要将高等数学中有关连续微分和积分等概念在均方极限意义上加以进行推广根据需要我们这里引入建立在随机极限上的均方连续均方可微和均方可积等等概念°由于讨论的是均方极限所以假定本节讨论的随机过程的一阶矩二阶矩均存在如无特别指明,本章以下讨论的均是二阶矩过程一均方极限的概念二随机变量序列的均方极限均方极限是均方微积分的基础,是均方收敛意义下的样本函数的极限.一均方极限的概念1二阶矩变量空间定义1.1二阶矩存在的随机变量的全体组成的集合2H={XE(X)<+∞}我们称为二阶矩变量空间.这个空间是一线性空间,
3、具有以下性质2二阶矩变量空间的性质(1)设X,Y∈H,则对于任意的复数a,baX+bY∈H(2)∀X,Y∈H,E(XY)≤X•Y(3)∀X∈HE(X)≤E(X)≤X21其中X=[E(X)]2,为X的范数,具有范数的正定性齐次性与三角不等式等性质二随机变量序列的均方极限1均方极限的定义定义1.1设随机变量序列{Xn,n=1,2,…}和随机变量X22的二阶矩有限即E
4、X
5、<∞,E
6、X
7、<∞,n2若有LimE
8、X−X
9、=0,即LimX−X=0nnn→∞n→∞则称Xn依均方收敛于X称X为Xn的均方极限记作L⋅i⋅mX=Xnn→∞2均方极限的性质1若随机变量序列{X}依均方收敛
10、于随机变量nX则它必定也依概率收敛于X这由切比雪夫不等式可知.2E[
11、X−X
12、]n∀ε>0,P(
13、X−X
14、>ε)≤n2ε2)若L⋅i⋅mXn=X,则LimE(Xn)=E(X)n→∞n→∞即有LimE(X)=E(L⋅i⋅mX)nnn→∞n→∞因为22D(Y)=E
15、Y
16、−
17、E(Y)
18、,222
19、E(Y)
20、=E
21、Y
22、−D(Y)≤E
23、Y
24、2所以
25、E(X)−E(X)
26、=
27、E(X−X)
28、≤E
29、X−X
30、nnn2故当E
31、X−X
32、→0时nn→∞有
33、E(X)−E(X)
34、⎯⎯→⎯0n3)如果L⋅i⋅mXm=X且L⋅i⋅mYn=Y则m→∞n→∞LimE(XY)=E(XY)=E[(L⋅i⋅mX)
35、(L⋅i⋅mY)]mnmnm→∞m→∞n→∞n→∞这因为
36、E(XY)−E(XY)
37、=E(XY−XY)
38、mnmn=
39、E[(X−X)(Y−Y)+X(Y−Y)+(X−X)Y]
40、mnnm≤E
41、(X−X)(Y−Y)
42、+E
43、X(Y−Y)
44、+E
45、(X−X)Y
46、mnnm22利用柯西一许瓦兹不等式
47、E(XY)
48、≤E(X)E(
49、Y
50、)22可得
51、E(XY)−E(XY)
52、≤E
53、X−X
54、E
55、Y−Y
56、mnmn2222+E
57、X
58、E
59、Y−Y
60、+E
61、X−X
62、E
63、Y
64、nn2m→∞2n→∞由条件E
65、X−X
66、⎯⎯→⎯0,E
67、Y−Y
68、⎯⎯→⎯0mn易见
69、E(XY)−E(XY)
70、→0(m→∞,n→∞)mn224
71、)若L⋅i⋅mXn=X,则有LimE(Xn)=E(X)n→∞n→∞5)若L⋅i⋅mXn=X,且L⋅i⋅mYn=Y,则对任意常数ab有L⋅i⋅m(aXn+bYn)=aX+bY6若数列{an,n=1,2,L}有极限Liman=0,又X是随n→∞机变量则L⋅i⋅m(aX)=0n7)若L⋅i⋅mX=X,且L⋅i⋅mX=Y,nn则有P(X=Y)=18)若L⋅i⋅mXn=X,则有n→∞L⋅i⋅mD(X)=D(L⋅i⋅mX)=D(X)nn9)若Xn和X为实随机变量,且L⋅i⋅mXn=Xn→∞则有L⋅i⋅mE[eitXn]=E[eitX]10)判别准则均方极限存在的充要条件是L⋅i⋅
72、m(X−X)=0即LimE
73、X−X
74、2=0mnmnm→∞m→∞n→∞n→∞11)(均方收敛准则{Xn}均方收敛的充要条件上为极限LimE[XX]存在mn12均方极限下的大数定理设{Xn}是相互独立同分布的随机变量序列E(Xn)=a,n=1,2,…则有n1L⋅i⋅m∑Xk=ank=1均方极限的性质给出了均方极限的基本运算关系与判别准则与普通极限有类似的运算关系与判别准则由此可定义均方极限意义下的均方连续性,均方导数与均方积分.下一节
