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1、平稳过程与二阶矩过程第二章平稳过程与二阶矩过程授课教师：樊平毅清华大学电子工程系2012内容简介ô2.1相关函数ô2.2功率谱ô2.3功率谱与时域平均ô2.4线性系统ô2.5随机连续性ô2.6随机微分(均方意义)ô2.7Taylor级数ô2.8随机微分方程ô2.9随机积分ô2.10遍历性讨论ô2.11抽样定理与随机预测2.1相关函数ô对于宽平稳过程X(t)而言，其平均值定义为η=E{X(t)}=ηx其中E(X)表示对随机变量X取均值。*ô互相关函数为R(τ)=E{X(t+τ)X(t)}=R(τ)=R(τ)xxx*表示取共轭运算。*显然，R(−τ)=R。(τ)ô若Xt)(是
2、实的宽平稳过程，则Rτ)(为偶函数。2.1相关函数ô两个联合平稳的过程X(t),Yt)(，其联合二阶**矩Rxy(τ)=E{X(t+τ)Y(t)}=Ryx(−τ)是它们的互相关。ô自协方差与互协方差定义为：**C(τ)=E{[X(t+τ)−η][X(t)−η]}2=R(τ)−
3、η
4、**C(τ)=E{[X(t+τ)−η][Y(t)−η]}xyxy*=R(τ)−ηηxyxy2.1相关函数ô简单的性质：(1)若，Z(t)=X(t)+Y(t)则R(τ)=R(τ)+R(τ)+R(τ)+R(τ)zzxxyyxyyx(2)若与独Xt)(Yt)(立，W(t)=X(t)Y(t),则R(τ)
5、=R(τ.)R(τ)WWxxyy(3)R)0(≥.02.1相关函数(4)若Xt)(为实的，则2E{[X(t+τ)±X(t)]}=[2R)0(±R(τ)]≥0从而得R(τ)在原点达到极大值。如果R(τ)关于τ=0处可导，则有R′)0(=0。(5)对于两个实过程X(t)与Y(t)，则基本2R(τ)≤R)0(R)0(不等式xyxxyy
6、2R(τ
7、)≤R)0(+R)0(xyxxyy常用证明技巧算数平均几何平均证明技巧2nnn⎛⎞22⎜∑aibi⎟≤∑ai∑bi⎝i=1⎠i=1i=1重要性?推广应用思考:0在平稳分布中的作用0点的重要性,1)连续性,2)周期性,3)有界性,4)极值
8、特性,思考:0在平稳分布中的作用0点的重要性,1)连续性,2)周期性,3)有界性,4)极值特性,基本思想:局部代表整体例题应用讨论ô例2.2.2X(t)的自相关为R(t1,t2)，为常数，求a的自相关函数。Y(t)=X(t+a)−X(t)解：分两步求解，R(t,t)=E(X(t)Y(t))=R(t,t+a)−R(t,t)xy12121212R(t,t)=E(Y(t)Y(t))=R(t+a,t)−R(t,t)yy1212xy12xy12=R(t+a,t+a)−R(t+a,t)−R(t,t+a)+R(t,t)12121212特别，t1=t2=t时，2E{[X(t+a)−X(t
9、)]}=R(t+a,t+a)−R(t+a,t)−R(t,t+a)+R,(tt)例题例题ô例2.2.3设过程X(t)由下式给出X(t)=acoswt+bsinwta,b是两个独立正态随机变量，且有222E(a)=E(b)=,0E(a)=E(b)=σw为常量，求X(t)的平均值与自相关？解：容易求得E(X(t))=.0。下面求解相关函数：R(t,t)=E{(acoswt+bsinwt)(acoswt+bsinwt)}12112222=E(a)coswtcoswt+E(b)sinwtsinwt12122=σcosw(t−t).12注解:cos(α−β)=cosαcosβ+sin
10、αsinβ迭代的初始条件有许多特殊的应用利用随机微分方程分析信道的统计特性07IEEET-IT显然，其自相关函数是参数r和n的函数，它表明序列{Xn}不是平稳过程。当n充分大时，此一阶回归模型可以看成渐近平稳过程。宽平稳过程与严平稳过程的讨论ô严平稳+二阶矩存在性可以导出它是宽平稳过程.ô下面给出一个具体的验证证明.利用数学定义的处理技巧讨论：ô当一个严平稳过程的一阶矩、二阶矩存在时，它一定是宽平稳过程；否则，结论不成立。ô一般的宽平稳过程不是严平稳过程，因为“一阶矩与时间无关”是不能推出它的概率分布也与时间无关；同样，自相关函数只依赖于时间差，也不能推出它的二维联合概率
11、分布与采样时间有关。ô如果一个过程的所有的高阶矩或高阶相关函数完全由一阶矩、二阶矩决定，此时，宽平稳与严平稳是等价的。到目前为止，我们了解到的具有此类特征的过程只有正态过程（高斯过程）和平稳马尔科夫链。基本结论总结:ôAR(1)是渐近平稳,渐近性的理由?ôMA(q)是平稳的.ô利用数学定义证明:(严平稳是宽平稳)2.2功率谱定义：一个随机过程X(t)的功率谱是它自关函数R(τ的付里叶变换记为)S(ω。即)+∞−jωτS(ω)=∫eR(τ)dτ−∞基本1+∞()=jωτ定义Rτ∫S(ω)edω−∞2π*因为R(−τ)=R(，故τ
