丁玉美_数字信号处理_第3章_离散傅里叶变换.ppt

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1、3.1离散傅里叶变换的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1离散傅里叶变换的定义3.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为式中，，N称为DFT变换区间长度N≥M，通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。下面证明IDFT［X(k)］的唯一性。把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有M为整数M为整数例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT设变换区间N=8，则所

2、以，在变换区间上满足下式：IDFT［X(k)］=x(n),0≤n≤N-1由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。设变换区间N=16，则3.1.2DFT和Z变换的关系设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式图3.1.1X(k)与X(ejω)的关系3.1.3DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于WknN的周期性，使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有均为整数所以(3.1.1)式中，X(k)满足同理可证明(3

3、.1.2)式中x(n+mN)=x(n)实际上，任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即为了以后叙述方便，将(3.1.5)式用如下形式表示：图3.1.2有限长序列及其周期延拓式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示n对N求余，即如果n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M为整数，则((n))N=n1例如，则有所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。如果x(n)的长度为N，且(n)=x((n))N，则可写出(n)的离散傅里叶级数表示为(3.1.8)(3.1.

4、9)式中(3.1.10)3.2离散傅里叶变换的基本性质3.2.1线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，即N=max［N1,N2］，则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］,0≤k≤N-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。3.2.2循环移位性质1.序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为y(n)=x((n+m))NRN(N)(3.2.2)图3

5、.2.1循环移位过程示意图2.时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即y(n)=x((n+m))NRN(n)则Y(k)=DFT［y(n)］=W-kmNX(k)(3.2.3)其中X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。证明：令n+m=n′，则有由于上式中求和项x((n′))NWkn′N以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区则得3.频域循环移位定理如果X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1Y(k)=X((k+l))NRN(k)则y(n)=IDFT［Y(k)］=Wn

6、lNx(n)(3.2.4)3.2.3循环卷积定理有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(b)］如果X(k)=X1(k)·X2(k)则(3.2.5)一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循环卷积。下面先证明(3.2.5)式，再说明其计算方法。证明：直接对(3.2.5)式两边进行DFT令n-m=n′，则有因为上式中x2((n′))NWkn′N，以N为周期，所以对其在任一个周期上求和的结果不

7、变。因此循环卷积过程中，要求对x2(m)循环反转，循环移位，特别是两个N长的序理的循环卷积长度仍为N。显然与一般的线性卷积不同，故称之为循环卷积，记为由于所以即循环卷积亦满足交换律。作为习题请读者证明频域循环卷积定理：如果x(n)=x1(n)x2(n)则(3.2.6)X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(n)］0≤k≤N-13.2.4复共轭序列的DFT设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为NX(k)=DFT［x(n)］则DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)且X(N)=X(0)证明：根据DFT的

8、唯一性，只要证明(3.2.7)式右边等于左边即可。又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0)用同样的方法可以证明DFT［