数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第1章

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1、第一章时域离散随机信号的分析1.1引言1.2时域离散随机信号的统计描述1.3随机序列数字特征的估计1.4平稳随机序列通过线性系统1.5时间序列信号模型1.1引言信号有确定性信号和随机信号之分。所谓确定性信号，就是信号的幅度随时间的变化有一定的规律性，可以用一个明确的数学关系进行描述，是可以再现的。而随机信号随时间的变化没有明确的变化规律，在任何时间的信号大小不能预测，因此不可能用一明确的数学关系进行描述，但是这类信号存在着一定的统计分布规律，它可以用概率密度函数、概率分布函数、数字特征等进行描述。实际中的随机信号常有四种形式：（1）连续随机信号：时间

2、变量和幅度均取连续值的随机信号。（2）时域离散随机信号(简称随机序列)：时间变量取离散值，而幅度取连续值的随机信号。（3）幅度离散随机信号：幅度取离散值，而时间变量取连续值的随机信号。例如随机脉冲信号，其取值只有两个电平，不是高电平就是低电平，但高低电平的选取却是随机的。（4）离散随机序列(也称为随机数字信号)：幅度和时间变量均取离散值的信号。利用计算机只能处理随机数字信号。本书中针对时域离散随机信号展开分析与讨论。对于随机数字信号，需要增加量化效应的分析,但随着计算机位数的不断增多,量化效应逐渐不明显；为简单起见，本书中有时也将这种信号简称为随

3、机序列。随机信号X(t)是由它所有可能的样本函数集合而成的,样本函数用xi(t),i=1,2,3,…表示。例如,图1.1.1表示的是n部接收机的输出噪声电压,图中xn(t)表示第n部接收机的输出噪声,称为第n条样本曲线。如果对随机信号X(t)进行等间隔采样，或者说将X(t)进行时域离散化,得到X(t1),X(t2),X(t3),…,所构成的集合称为时域离散随机信号。用序号n取代tn，随机序列用X(n)表示。换句话说,随机序列是随n变化的随机变量序列。图1.1.2表示的就是图1.1.1随机信号经过时域离散化形成的随机序列。相应的xi(n),i=1,2,

4、3,…，称为样本序列，它们是n的确定性函数。样本序列也可以用xn表示。而X(t1),X(t2),X(t3)，…或者X(1),X(2),X(3)，…则都是随机变量。因此随机序列兼有随机变量和函数的特点。这里要注意,X(n)与xi(n)分别表示不同的含义(n,i=1,2,3,…)，大写字母表示随机序列或者随机变量，小写字母表示样本序列。但在本书以后的章节中,为简单起见，也用小写字母x(n)或xn表示随机序列,只要概念清楚,会分清楚何时代表随机序列,何时代表样本函数。图1.1.1n部接收机的输出噪声图1.1.2n部接收机输出噪声的时域离散化1.2时域离散随机

5、信号的统计描述1.2.1时域离散随机信号（随机序列）的概率描述1.概率分布函数对于随机变量Xn,其概率分布函数用下式描述：(1.2.1)式中P表示概率。2.概率密度函数如果Xn取连续值，其概率密度函数用下式描述：上面(1.2.1)和(1.2.2)式分别称为随机序列的一维概率分布函数和一维概率密度函数，它们只描述随机序列在某一n的统计特性。而对于随机序列，不同n的随机变量之间并不是孤立的，为了更加完整地描述随机序列，需要了解二维及多维统计特性。二维概率分布函数:(1.2.3)对于连续随机变量,其二维概率密度函数为(1.2.4)以此类推,N维概率分布

6、函数为对于连续随机变量,其N维概率密度函数为概率分布函数能对随机序列进行完整的描述,但实际中往往无法得到它。为此，引入随机序列的数字特征。在实际中，这些数字特征比较容易进行测量和计算,知道这些数字特征也足够用了。常用的数字特征有数学期望、方差和相关函数。1.2.2随机序列的数字特征1.数学期望(统计平均值)随机序列的数学期望定义为(1.2.7)式中E表示求统计平均值。由上式可见，数学期望是n的函数，如果随机序列是平稳的，则数学期望是常数，与n无关。2.均方值与方差随机序列均方值定义为(1.2.8)随机序列的方差定义为(1.2.9)可以证明，上式也可以

7、写成下式:(1.2.10)一般均方值和方差都是n的函数,但对于平稳随机序列,它们与n无关,是常数。如果随机变量Xn代表电压或电流，其均方值表示在n时刻消耗在1Ω电阻上的集合平均功率，方差则表示消耗在1Ω电阻上的交变功率的集合平均。有时将σx称为标准方差。3.随机序列的相关函数和协方差函数我们知道,在随机序列不同时刻的状态之间，存在着关联性，或者说不同时刻的状态之间互相有影响，包括随机序列本身或者不同随机序列之间。这一特性常用自相关函数和互相关函数进行描述。自相关函数定义为(1.2.11)自协方差函数定义为(1.2.12)式中的“*”表示复共轭。上式

8、也可以写成(1.2.13)对于零均值随机序列，mXn=mXm=0,则这种情况下，自相关函数和自