数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第4章

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1、第四章功率谱估计4.1引言4.2经典谱估计4.3现代谱估计中的参数建模4.4AR模型谱估计的性质4.5AR谱估计的方法4.6最大熵谱估计与最大似然谱估计4.7特征分解法谱估计4.1引言我们知道,对信号和系统进行分析研究、处理有两类方法：一类是在时域进行，前面我们学习的维纳—卡尔曼滤波和自适应滤波都属于这种方法；本章则是在频率域进行研究的另一类方法。这两类方法都是信号处理的重要方法。对确定性信号傅里叶变换是在频率域分析研究的理论基础，但对于随机信号，其傅里叶变换并不存在，因此转向研究它的功率谱。按照Weiner-Khintchine定理，信号的功率谱和其自相关函数服从一

2、对傅里叶变换关系，公式如下(4.1.1)(4.1.2)(4.1.3)（4.1.1）式被称做功率谱的定义，对于平稳随机信号，服从各态历经定理，集合平均可以用时间平均代替，由（4.1.1）式还可以推出功率谱的另一个定义，推导如下：将（4.1.3）式中的集合平均用时间平均代替，得到(4.1.4)将（4.1.4）式代入(4.1.1)式,得到令l=n+m,则(4.1.5)上式中x(n)是观测数据，Pxx(ejω)是随机变量，必须对Pxx(ejω)取统计平均值，得到(4.1.6)上式被认为是功率谱的另一定义。（4.1.1）式表明功率谱是无限多个自相关函数的函数，但观测数据只有有

3、限个,只能得到有限个自相关函数。按照（4.1.6）式求功率谱,也需要无限个观测数据。因此根据有限个样本数据，分析计算随机序列的真正功率谱，是求功率谱的中心问题，毫无疑问，这是一个功率谱的估计问题。在第一章已介绍了统计估计的一般估计准则，主要有偏移、估计量方差和估计量的均方误差（有效性），这里不再重复，下面直接用它们分析估计质量。现代谱估计以信号模型为基础，图4.1.1表示的是x(n)的信号模型，输入白噪声w(n)均值为0，方差为σ2w，x(n)的功率谱由下式计算：（4.1.7）如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可以按照（4.1.7）式计算出来，这样,

4、估计功率谱的问题变成了由观测数据估计信号模型参数的问题。模型有很多种类，例如AR模型、MA模型等等，针对不同的情况，合适地选择模型，功率谱估计质量比较经典谱估计的估计质量有很大的提高。遗憾的是，尚无任何理论能指导我们选择一个合适的模型，我们只能根据功率谱的一些先验知识，或者说一些重要的谱特性，选择模型。图4.1.1平稳随机序列的信号模型4.2经典谱估计4.2.1BT法BT法是先估计自相关函数,然后按照(4.1.1)式进行傅里叶变换得到功率谱。设对随机信号x(n)，只观测到一段样本数据，n=0,1,2,…,N-1。关于如何根据这一段样本数据估计自相关函数,第一章已经

5、作了详细介绍，结果是共有两种估计方法，即有偏自相关函数估计和无偏自相关函数估计。有偏自相关函数估计的误差相对较小，这种估计是一种渐近一致估计，将该估计公式重写如下：（4.2.1）对上式进行傅里叶变换，得到BT法的功率估计值为(4.2.2)为了减少谱估计的方差，经常用窗函数w(m)对自相关函数进行加权，此时谱估计公式为（4.2.3）式中-(M-1)≤m≤(M-1)其它,M≤N（4.2.4）有时称(4.2.3)式为加权协方差谱估计。它要求加窗后的功率谱仍是非负的，这样窗函数w(m)的选择必须满足一个原则，即它的傅里叶变换必须是非负的，例如巴特利特窗就满足这一条件。为了采

6、用FFT计算（4.2.3）式，设FFT的变换域为(0~L-1)，必须将求和域(-M+1,M-1)移到（0~L-1），功率谱的计算公式如下：k=0,1,2,…,L-1(4.2.7)0≤m≤M-1M≤m≤L-M-1L-M≤m≤L-1按照（4.2.1）式估计自相关函数，我们已经证明这是渐近一致估计，但经过傅里叶变换得到功率谱的估计，功率谱估计却不一定仍是渐近一致估计，可以证明它是非一致估计，是一种不好的估计方法。下面我们将证明：BT法中用有偏自相关函数进行估计时，它和用周期图法估计功率谱是等价的，因此BT法估计质量和周期图法的估计质量是一样的。4.2.2周期图法将功率谱

7、的另一定义（4.1.6）式重写如下:如果忽略上式中求统计平均的运算，观测数据为:x(n)0≤n≤N-1，便得到周期图法的定义:(4.2.8)图4.2.1用周期图法计算功率谱框图1.周期图与BT法的等价关系周期图法的功率谱估计公式用（4.2.8）式表示，下面由该公式出发推导它们的等价关系。令m=k-n,即k=m+n，则上式中的方括号部分正是有偏自相关函数的计算公式,因此得到因此证明了利用有偏自相关函数的BT法和周期图法的等价关系。2.周期图法谱估计质量分析1)周期图的偏移已知自相关函数的估计值，m=-(N-1),-N,-N+1,…,0,1,2,…,