时域离散信号和系统(数字信号处理)

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1、第2章时域离散信号和系统2.1时域离散信号——序列模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到其中：n取整数。该数字序列就是时域离散信号。为简化直接用x(n)表示。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它（x(n)）等于信号的采样值，即x(n)=xa(nT)，-∞＜n＜∞信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}序列：一个时域离散信号是自变量为整数n的函数，称之为序列。{x(n)}-∞＜n＜∞其中x(n

2、）表示序列的第n个数，{}表示集合，x(n）在整数n处才有定义，n非整数时无定义，但不意味着x(n）为零。2.1常用的典型序列1.单位采样序列δ(n)单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0时，取值无穷大，t≠0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图下图所示。图1.2.1单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列；(b)单位冲激信号2.单位阶跃序列u(n)单位阶跃序列下图所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。δ(n)与u(

3、n)之间的关系如下式所示：δ(n)=u(n)-u(n-1)令n-k=m，代入上式得到单位阶跃序列3.矩形序列RN(n)1,0≤n≤N-10，其它n上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：RN(n)=u(n)-u(n-N)RN(n)=图1.2.3矩形序列4.实指数序列x(n)=anu(n)，a为实数如果

4、a

5、<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列；如

6、a

7、>1，则称为发散序列。其波形如图所示。实指数序列5.正弦序列x(n)=sin(nω)式中ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度

8、，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么xa(t)=sin(Ωt)xa(t)

9、t=nT=sin(ΩnT)x(n)=sin(ωn)因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为ω=ΩT它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：6.复指数序列x(n)=e(σ+jω0)n式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=ejω0nx(n)=cos(ω

10、0n)+jsin(ω0n)由于n取整数，下面等式成立：ej(ω0+2πM)n=ejω0n,M=0,±1,±2…7.周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-∞

11、(n)图1.2.5正弦序列则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。正弦序列有以下三种情况：(1)当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ω0为周期的周期序列。例如sin(π/8)n，ω0=π/8，2π/ω0=16,该正弦序列周期为16。(2)2π/ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。例如sin(4/5)πn，ω0=(4/5)π，2π/ω0=5/2，k=2，该正弦序列是以5

12、为周期的周期序列。(3)2π/ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。例如，ω0=1/4,sin(ω0n)即不是周期序列。对于复指数序列ejω0n的周期性也有同样的分析结果。以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即(1.2.13)式中δ(n-m)=1,n=m0，n≠m这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。例如：x(n)的波形下图所示，可以表示成：x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-δ(