数字信号处理 第3章 离散傅里叶变换.ppt

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1、第3章离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform—DFT)3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义3.2离散傅里叶变换的性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例傅里叶变换的离散性和周期性1.连续时间周期信号的傅里叶级数——连续时间，离散频率2.连续时间非周期信号的傅里叶变换——连续时间，连续频率3.序列的傅里叶变换——离散时间，连续频率4.离散傅里叶变换——离散时间，离散频率3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义x(n)为周期序列的主值序列X(k)为周期序列的主值序列“借用”的主值序列X(k)定

2、义为“离散傅里叶变换(DFT)”。目的是使傅里叶分析可以利用数字计算机。一、离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform——DFT)二、DFT与z变换的关系DFT的物理意义1：序列x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔采样。点数为M的有限长序列x(n)的ZT为点数为M的有限长序列x(n)的N点DFT为DFT的物理意义2：X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间[0,2π]上的N点等间隔采样。三、DFT与傅里叶变换的关系点数为M的有限长序列x(n)的FT为四、DFT的隐含周期性

3、DFT物理意义3：有限长序列的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数的主值序列，X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列的频谱特性。【例3.1.1】x(n)=R4(n)，求x(n)的4点和8点DFT。Xk=fft(xn,N)xn=ifft(Xk,N)五、用Matlab计算序列的DFT【例3.1.2】3.2离散傅里叶变换的性质一、线性性质二、循环移位性质1.序列的循环移位N=8m=22.时域循环移位性质——循环移位序列的DFT3.频域循环移位性质——循环移位序列的ID

4、FT二、循环移位性质有限长序列的循环移位，在离散频域中只引入一个和频率成正比的线性相移，对频谱的幅度没有影响。时域序列的调制等效于频域的循环移位——调制特性。1.两个有限长序列循环卷积的定义三、循环卷积定理循环倒相序列L点循环卷积和循环右移一个样值点式(3.2.5)中的x((n-m))L只在m=0到L-1范围内取值，因而它就是循环移位，所以这一卷积和称为循环卷积和。x(n)的L点循环卷积矩阵【例3.2.1】L点循环卷积和1.两个有限长序列循环卷积的定义2.时域循环卷积定理三、循环卷积定理L点循环卷积3.频域循环卷

5、积定理四、复共轭序列的DFT五、DFT的共轭对称性1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列任意有限长序列都可以表示成有限长共轭对称序列与有限长共轭反对称序列之和。2.DFT的共轭对称性(1)将有限长序列x(n)表示为有限长序列x(n)写成实部与虚部的形式，实部的DFT为X(k)的共轭对称分量，虚部和j一起的DFT为X(k)的共轭反对称分量。2.DFT的共轭对称性（续）(2)将有限长序列x(n)表示为有限长序列x(n)写成有限长共轭对称序列和有限长共轭反对称序列之和，共轭对称分量的DFT为X(k)=DFT[x(n)]

6、的实部，共轭反对称分量的DFT为X(k)=DFT[x(n)]的虚部乘以j。2.DFT的共轭对称性（续）(3)有限长实序列DFT的共轭对称性x(n)是关于N/2的实偶对称序列x(n)是关于N/2的实奇对称序列【例3.2.2】利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT。六、DFT形式下的帕塞瓦尔定理证明：一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量相等。3.3频率域采样由于所以等间隔采样得到X(k)频域采样定理：假设序列x(n)的长度为M，

7、只有当频率域采样点数N≥M时，才有IDFT[X(k)]N=xN(n)=x(n)，即可由频域采样序列X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。3.4DFT的应用举例一、用DFT计算线性卷积二、用DFT对信号进行谱分析当L≥N+M-1时，yc(n)=yl(n)线性卷积与循环卷积的关系：yl(n)的长度为N+M-1yc(n)的长度为L一、用DFT计算线性卷积证明：x(n)的L点循环卷积矩阵根据时域循环卷积定理1.用DFT对连续时间非周期信号x(t)进行谱分析(1)对x(t)以采样间隔T采样得序列x(n)=x(n

8、T)(2)将序列x(n)=x(nT)截断成从t=0开始，长度为Tp的有限长序列，Tp=NT(3)为了数值计算，在频域也要离散化，一个周期Fs等间隔采样N点，每个样点间隔为F，N=Fs/F，F=Fs/N=1/TN=1/Tp二、用DFT对信号进行谱分析图3.4.6用DFT分析连续信号频谱的原理示意图用DFT近似计算模拟信号频谱的计算步骤：(1)首先确定用DFT对模拟信号频谱进