数字信号处理讲义-第8章离散傅里叶变换

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1、第8章离散傅里叶变换教学目的1．理解离散傅里叶级数、傅里叶变换的概念和性质，掌握循环卷积的计算方法；2．掌握用离散傅里叶变换实现线性卷积的条件和方法。教学重点与难点重点：1．理解离散傅里叶级数、傅里叶变换的概念和性质，掌握循环卷积的计算方法；2．掌握用离散傅里叶变换实现线性卷积的条件和方法。难点：１．循环卷积的计算方法。２．离散傅里叶变换实现线性卷积的条件与方法。8.0引言在前面讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针

2、对序列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，简写为DFT）。它本身也是有限长序列。作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法——快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式，见图8-1所示。图８-1各种形式的傅里叶变换一个非周期实连续时间信号xa(t)的傅里

3、叶变换，即频谱Xa(jΩ)是一个连续的非周期函数，这一变换对的示意图见图8-1(a)。该变换关系与第1章“连续时间信号的采样”中所涉及到的非周期连续时间信号xa(t)的情况相同。一个周期性连续时间信号xp(t)，其周期为Tp，该信号可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为，即xp(t)的傅里叶变换或频谱Xp(jkΩ)是由各次谐波分量组成的，并且是非周期离散频率函数，xp(t)和Xp(jkΩ)的示意图见图８-1(b)。其中，离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔为Ω=2πF=2π/Tp，k为谱谐波序号。在第２章里讨论了一个非周期连续时间信号xa(t)经过等间隔采样的信号（x(nT)）

4、，即离散时间信号——序列x(n)，其傅里叶变换X(ejω)是以2π为周期的连续函数，振幅特性如图8-1(c)所示。这里的ω是数字频率，它和模拟角频率Ω的关系为ω=ΩT。若振幅特性的频率轴用Ω表示，则周期为Ωs=2π/T。比较图8-1(a)、（b）和(c)可发现有以下规律：如果信号频域是离散的，表现为周期性的时间函数。相反，在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。不难设想，一个离散周期序列，它一定具有既是周期又是离散的频谱，其振幅特性如图8-1(d)所示。 表8-1四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非

5、周期周期和连续离散和周期周期和离散可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓，一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表8-1对这四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。下面我们先从周期性序列的离散傅里叶级数开始讨论，然后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换。8.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)设是一个周期为N的周期序列，即r为任意整数周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样，周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐波关系的复指数序列（

6、正弦型序列）之和。也就是说，复指数序列的频率是周期序列的基频（2π/N）的整数倍。这些复指数序列ek(n)的形式为（8-1）式中,k,r为整数。由式（8-1）可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也为N。也就是说,离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这是和连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），因而对离散傅里叶级数，只能取k=0到N-1的N个独立谐波分量，不然就会产生二义性。因而可展成如下的离散傅里叶级数，即（8-2）式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数，是k次谐波的系数。下面我们来求解系数，这要利用复正弦序列的正交特性，即r=mN,m为

7、整数其他r（8-3）将式（8-2）两端同乘以，然后从n=0到N-1的一个周期内求和，则得到把r换成k可得（8-4）这就是求k=0到N-1的N个谐波系数的公式。同时看出也是一个以N为周期的周期序列，即这和离散傅里叶级数只有N个不同的系数的说法是一致的。可以看出，时域周期序列的离散傅里叶级数在频域（即其系数也是一个周期序列。因而与是频域与时域的一个周期序列对，式（8-2）与式（8-4）一起可看作是一对相互表达周期序列的离散傅里叶级数（DFS）对。为了表示方便，常常利用复数量WN来写这两个式子