数字信号处理离散傅里叶变换

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1、第3章离散傅里叶变换(DFT)1本章作为全书的基础，主要学习:(1)DFT的定义；(2)DFT的物理意义；(3)DFT的基本性质以及频域采样；(4)DFT的应用举例等内容。2离散傅里叶变换定义计算机只能处理有限长离散序列，因而无法直接利用ZT与FT进行数值计算。针对有限长序列,还有一种更有用的数学变换,即离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform），使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行，大大增加了数字信号处理的灵活性。3DFT的实质：有限长序列傅里叶变换的有限点离散采

2、样，即频域离散化。DFT有多种快速算法(FastFourierTransform),因此不仅在理论上有重要意义,在各种数字信号处理算法中亦起着核心作用。从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。4DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：X(k)的离散傅里叶逆变换为：5对式中，　　　　　，N称为DFT变换区间长度，N≥M。通常称上述二式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散

3、傅里叶逆变换。6【例】x(n)=R4(n),求x(n)的8点和16点DFT。【解】（1）设变换区间N=8时，则：7（2）设变换区间N=16时，则：8R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系如下图所示:X(n)的幅频特性曲线(FT曲线)X(n)的8点DFT曲线X(n)的16点DFT曲线9结论:由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。在后面，对DFT与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意义进行讨论后，上述问题就会得到解释。10DFT与傅里叶变换和Z变换的关系设序列x(n)

4、的长度为M，其Z变换和N(N≥M)点DFT分别为：11上二式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。X(k)为x(n)的傅里叶变换。比较上面二式可得关系式或12DFT是X(ejω)在区间［0,2π］上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ejω)在区间［0,2π］上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。DFT的物理意义13DFT的隐含周期性在DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，

5、但由于的周期性，使DFT和IDFT式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有在DFT式中，X（k)满足：14实际上，任何周期为N的周期序列　　都可以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是　　的一个周期，即15一般称周期序列　　　中从n=0到N－1的第一个周期为　　　的主值区间，而主值区间上的序列称为　　　的主值序列。因此x(n)与　　　的上述关系可叙述为：　　　是x(n)的周期延拓序列，x(n)是　　　的主值序列。16为了以后叙述简洁，当N大于等

6、于序列x(n)的长度时，将式用如右形式表示：式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示模N对n求余，即如果n=MN+n10≤n1≤N－1,M为整数则((n))N=n117例如，,则有所得结果符合下图所示的周期延拓规律。18如果x(n)的长度为N，且　　　　　　，则可写出　　　的离散傅里叶级数表示式式中即X(k)为　　　的主值序列。19因此可知，有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级

7、数系数　　　的主值序列，即。后面要讨论的频域采样理论将会加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数　　　确定，因此，X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列x((n))N的频谱特性，这就是N点DFT的物理意义。20离散傅里叶变换的基本性质1线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2,且y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，即N=max［N1,N2］，则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2

8、(k),0≤k≤N-1其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。212循环移位性质：(1)序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为y(n)=x((n+m))NRN(N)循环移位过程如下图所示:22循环移位过程示意图23(2)时域循环移位定理：设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即y(n)=x((n+m))NRN(n)则Y(k)=DFT［y(n)］其中X(k)=DFT［x(n)］,0