离散傅里叶变换(数字信号处理)

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1、第三章离散傅里叶变换DiscreteFourierTransform福建农林大学金山学院信息与机电工程系(309428110@qq.com)数字信号处理DigitalSignalProcessing8/22/2021本章内容一.引言二.周期序列的离散傅立叶级数三.离散傅立叶变换四.DFT性质五.频域采样定理六.利用DFT对连续时间信号的逼近8/22/2021DFT是分析有限长序列的有用工具，它既是理论分析的重点，也是实际运算的核心，在本质上，有限长序列的离散傅立叶变换和周期序列的离散傅立叶级数上一样的。DFT是有限长序列的一种傅立叶表示法，时域和频域皆离散的变换。FFT算法是DFT

2、变换的计算机算法实现。一、引言8/22/2021DFT要解决两个问题：时域、频域的离散(t-n,w-k)与幅值的量化快速运算(FFT)数字信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化当两个变量域的自变量分别取连续和离散值时，形成不同形式的傅立叶变换对。8/22/2021连续时间非周期信号的傅立叶变换为域连续性周期性时域连续非周期频域连续非周期傅立叶变换8/22/2021傅立叶级数当x(t)为连续时间周期信号时，可展开为傅立叶级数域连续性周期性时域连续周期频域离散非周期8/22/2021对离散序列x(n)，其傅立叶变换为若x(n)是信号x(t)的采样序列，采样间隔为T，则有：序列的傅立叶

3、变换8/22/2021域连续性周期性时域离散非周期频域连续周期8/22/2021上述三种情况至少在一个变换域有积分(连续)，因而不适合进行数字计算。域连续性周期性时域离散周期频域离散周期时域的离散造成频域的延拓（周期性），因而频域的离散也会造成时域的延拓（周期性）。离散傅立叶变换8/22/2021对序列的傅立叶变换在频域上加以离散化，令从而8/22/2021x(n)8/22/2021四种形式归纳类型时间函数频率函数关系傅立叶变换连续非周期连续非周期傅立叶级数连续周期(T0)离散(Ω0)非周期序列傅立叶变换离散(TS)非周期连续周期(ΩS)离散傅立叶变换离散(Ts)周期(T0)离散(

4、Ω0)周期(Ωs)8/22/2021对一个周期为N点的周期序列显然（周期循环，永不衰减）周期序列不绝对可和。故Z变换不存在。类似连续时间信号的傅立叶级数分析，我们有序列的离散傅立叶级数。二、离散傅立叶级数（DFS）8/22/2021可得离散傅立叶级数变换对：周期序列的DFS可以看成是对序列的某一个周期x(n)作Z变换，然后在Z平面单位圆上等间隔2π/N采样得到的：8/22/20218/22/2021-解：根据定义求解8/22/2021DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序

5、列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。对周期序列，只要研究一个周期的性质，就可以“窥一斑而知全貌”。说明8/22/2021对周期序列，在一个周期的所有点的信息描述了该序列的情况，并且可用DFS来加以分析。对长度为N的有限长序列x(n)，可以视作是周期为N的周期序列，从而利用周期序列的DFS来加以分析和研究。有限长序列的傅立叶变换称为离散傅立叶变换DFT(DiscreteFourierTransform)三、离散傅立叶变换DFT8/22/2021主值序列主值序列DFT变换对DFS变换对…………定义8/22/2021定义对有限长序列x(n)，构造

6、其周期延拓序列8/22/2021将DFS的求和限于主值区间，得到了有限长序列x(n)的离散傅立叶变换DFT。其中：x(n)为时域有限长序列，n是时间t的离散，X(k)是频域有限长序列，k是数字频率的离散有限长序列的DFT变换对用一个公式描述了两个序列(N点)之间的相互关系，是同一个信号在不同变换域中的体现，二者信息等量，互为一一确定。8/22/2021有限长序列的DFT是有限长的DFT与DFS无本质区别，DFT是DFS的主值定义记旋转因子：8/22/2021DFT和DTFT，ZT，DFS的关系设序列x(n)的长度为MDFT与ZT关系：DFT与DTFT关系：DFT与DFS的关系：8

7、/22/2021隐含着周期性一.预备知识1.余数运算表达式如果，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为。是的解,或称作取余数，或说作n对N取模值,或简称为取模值，n模N。8/22/2021例隐含着周期性8/22/2021先取模值，后进行函数运作;而将视作周期延拓。2.隐含着周期性8/22/20213.主值序列隐含着周期性8/22/2021......n0N-1定义从n=0到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。N-1nx(n)0隐含着周期性8/22/2