方向导数与梯度的关系.ppt

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1、第7章多元函数微分法及其应用7.2.2复合函数与隐函数的偏导数7.2.3方向导数与梯度多元函数的基本概念(130)27.2.2复合函数与隐函数的偏导数复合函数的偏导数:多元函数的基本概念(130)3证则多元函数的基本概念(130)4上面的结论可推广到中间变量更多的情况，如以上公式中的导数称为全导数.多元函数的基本概念(130)5上定理还可推广到中间变量是多元函数的情况：多元函数的基本概念(130)6链式法则如图示：多元函数的基本概念(130)7多元函数的基本概念(130)8特殊地即令其中两者的区别区别类似多元函数的基本概念(1

2、30)9解多元函数的基本概念(130)10解多元函数的基本概念(130)11解令记同理有多元函数的基本概念(130)12于是多元函数的基本概念(130)13实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的,即一阶全微分的形式不变性:多元函数的基本概念(130)14多元函数的基本概念(130)15解多元函数的基本概念(130)16隐函数的求导公式隐函数的偏导数:多元函数的基本概念(130)17解令则多元函数的基本概念(130)18多元函数的基本概念(130)19解令则多元函数的基本概念(130)20多元函数的基本

3、概念(130)21解令则多元函数的基本概念(130)22思路(1)代入公式求解；（2）多元函数的基本概念(130)23整理得解令则多元函数的基本概念(130)24整理得整理得多元函数的基本概念(130)25多元函数的基本概念(130)26多元函数的基本概念(130)27多元函数的基本概念(130)28解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对求导并移项多元函数的基本概念(130)29将所给方程的两边对求导，用同样方法得多元函数的基本概念(130)301、链式法则（三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课中

4、所讲的特殊情况）（理解其实质）7.2.4小结与思考题多元函数的基本概念(130)31（分以下几种情况）3、隐函数的求导法则多元函数的基本概念(130)32思考题多元函数的基本概念(130)33思考题解答多元函数的基本概念(130)34思考题多元函数的基本概念(130)35思考题解答多元函数的基本概念(130)36课堂练习题多元函数的基本概念(130)37多元函数的基本概念(130)38课堂练习题答案多元函数的基本概念(130)39多元函数的基本概念(130)40实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，

5、(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行．7.2.3方向导数与梯度多元函数的基本概念(130)41方向导数:（如图）二元函数的方向导数：多元函数的基本概念(130)42当沿着趋于时，是否存在？多元函数的基本概念(130)43记为多元函数的基本概念(130)44证由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到多元函数的基本概念(130)45故有方

6、向导数多元函数的基本概念(130)46解多元函数的基本概念(130)47解由方向导数的计算公式知多元函数的基本概念(130)48故多元函数的基本概念(130)49三元函数的方向导数：多元函数的基本概念(130)50同理：当函数在此点可微时，函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有多元函数的基本概念(130)51梯度多元函数的基本概念(130)52多元函数的基本概念(130)53结论：多元函数的基本概念(130)54在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量多元函数的基本概念

7、(130)55等高线的画法播放多元函数的基本概念(130)56等高线的画法多元函数的基本概念(130)57等高线的画法多元函数的基本概念(130)58等高线的画法多元函数的基本概念(130)59等高线的画法多元函数的基本概念(130)60等高线的画法多元函数的基本概念(130)61等高线的画法多元函数的基本概念(130)62等高线的画法多元函数的基本概念(130)63等高线的画法多元函数的基本概念(130)64等高线的画法多元函数的基本概念(130)65播放等高线的画法多元函数的基本概念(130)66例如,多元函数的基本概念(

8、130)67多元函数的基本概念(130)68梯度与等高线的关系：多元函数的基本概念(130)69类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度概念的推广：多元函数的基本概念(130)70解由梯度计算公式得故多元函数的基本概