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1、第九章第七节一、方向导数机动目录上页下页返回结束二、梯度方向导数与梯度问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向爬行．问题的提出实例:一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个青蛙，问这只青蛙应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点???一、方向导数机动目录上页下页返回结束则l的参数方程为xyo定义:若函数则称此极限为函数在点在点内有定义,如果机动目录上页下页返回结束记作沿方向l的方向导
2、数.xyoP(x,y)存在,说明:注意:例如:机动目录上页下页返回结束证定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束故ltxy例1.求函数的方向的方向导数.解:由于方向l即向量因此方向l的方向余弦为:∵机动目录上页下页返回结束例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束对于三元函数的方向导数为推广可得三元函数方向导数的定义因为函数可微分,且例3.解机动目录上页下页返回结束例
3、4.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束(gradient)机动目录上页下页返回结束二、梯度问题:f(x,y)的方向导数公式令向量方向导数取最大值：1.定义即设函数f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,记作机动目录上页下页返回结束称向量例5.解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.梯度与方向导数的关系机动目录上页下页返回结束函数f(x,y)增加最快,且函数f(x,y)减少最快,且函数的变化率为零,即例6.的方向导数;的方向导
4、数;解:(1)函数沿梯度方向增加最快.故所求方向可取为机动目录上页下页返回结束沿此方向的方向导数为沿此方向的方向导数为所求方向可取为该方向为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束称为函数f的等值线.3.梯度的几何意义则L*上点处的单位法向量为....方向导数与梯度.pdfP21同样,对应函数有等值面:当各偏导数不同时为零时,其上点P处的单位法向量为推广:机动目录上页下页返回结束....方向导数与梯度.pdfP24例7.解:机动目录上页下页返回结束在这两个方向的变化率各为内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向
5、角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.机动目录上页下页返回结束曲线1.(1)在点解答提示:机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量机动目录上页下页返回结束备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性机动目录上页下页
6、返回结束指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:则机动目录上页下页返回结束3.解:机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束作业P108:5;6;8;10.
