方向导数和梯度ppt课件.ppt

《方向导数和梯度ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一问题的提出10xy方向导数图示讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．2ABC3中xOyz.P0Pl沿方向的方向导数.4二、方向导数的定义设函数在内有定义。若点沿射线l趋于时,极限存在，则称该极限值为函数在点处沿l方向的方向导数。记为5或6利用直线方程可将方向导数的

2、定义表示为:射线l的方程为则故7比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中，分母；在偏导数中，分母、可正、可负。即使l的方向与x轴,y轴的正方向一致时，方向导数与偏导数的概念也是不同的。方向导数与偏导数是两个不同的概念想一想，为什么？8怎么计算方向导数？9看看三维空间的情形10定理(方向导数导计算公式)若函数在点处可微，则函数在点处沿任一方向的方向导数存在，且其中,各导数均为在点处的值.11运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：其中，称为梯度12在中在中可统一表示为13设,求函数在点沿方向的方向导数。解例14由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它

3、在该点沿任何方向的方向导数均存在，且方向导数值都等于1：想一想，该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。方向导数存在时，偏导数不一定存在。例15一个问题：在给定点沿什么方向增加得最快？该问题仅在不同时为零才有意义。可微函数三、梯度16由前面的推导，有现在正式给出的定义gradu由此可得出什么结论？方向导数等于梯度在此方向上的投影17定义设则称向量为函数在点处的梯度，记为或18梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在

4、该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。19在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量20类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数2122设求并求在点处方向导数的最大(小)值。解∵∴从而例123解由梯度计算公式得故24精品课件！25精品课件！261、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）三、小结27此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们

5、努力做得更好！