《方向导数与梯度》ppt课件

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1、方向导数与梯度一、方向导数的概念及计算二、梯度的概念及计算三、几何与物理意义第九章第七节一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2解因为函数可微分,且例3解在空间的每一个点都可以确定无限多个方向,因此,导数.在这无限多个方向导数中,最大的一个(它直接反映了函数在这个点的变化率的数量级)等于多少?一个多

2、元函数在某个点也必然有无限多个方向它是沿什么方向达到的?描述这个最大方向导数及其所沿方向的矢量,就是我们下面讨论的梯度.梯度是场论里的一个基本概念.所谓“场”,它表示空间区域上某种物理量的一种分布.从数学上看,这种分布常常表示为上的一种数值函数或向量函数.能表示为数值函数u=u(x,y,z)的场,称为数量场,密度场等;如温度场、二、梯度(gradient)的概念及计算梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影

3、.向量引用记号称为奈布拉(Nebla)算符,或称为向量微分算子或哈密顿(W.R.Hamilton)算子.则梯度可记为设u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处以三元函数为例,则函数在该点的梯度为可微分,梯度是函数u=f(x,y,z)在点P处取得最大方向导数的方向,最大方向导数为函数u=f(x,y,z)在点P处沿方向的方向导数例1解例2:设p(1,1,0).问f(x,y,z)在p处沿什么方向变化最快,在这方向的变化率是多少?解：沿方向变化最快,方向变化最慢