梯度与方向导数ppt课件.ppt

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1、§8．7方向导数与梯度一、方向导数二、梯度方向导数与偏导数的关系、三元函数的方向导数梯度与方向导数、梯度的模、方向导数的最大值等高线、梯度与等高线的关系三元函数的梯度、等量面数量场与向量场、势与势场一、方向导数设函数zf(x，y)在点P(x，y)的某一邻域U(P)内有定义．自点P引射线l．设x轴正向到射线l的转角为j，并设P(xx，yy)为l上的另一点且PU(P)．若此极限存在，则称此极限为函数f(x，y)在点P沿方向l的方向导数，记作，即其中r．OxyPljPxy考虑，，r定理如

2、果函数zf(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且有方向导数与偏导数的关系：=cosj+sinj，其中j为x轴到方向l的转角．简要证明：f(xx，yy)f(x，y)定理如果函数zf(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且有方向导数与偏导数的关系：=cosj+sinj，其中j为x轴到方向l的转角．简要证明：f(xx，yy)f(x，y)讨论函数zf(x，y)在点P沿x轴正向和负向，沿y轴正向和负向

3、的方向导数如何?讨论：根据公式=cosj+sinj提示：沿x轴正向时，cosj=1，sinj=0，沿x轴负向时，cosj=-1，sinj=0，；=cosj+sinj．=cosj+sinj，例1求函数zxe2y在点P(1，0)沿从点P(1，0)到点Q(2，1)的方向的方向导数．因此x轴到方向因为l的转角为j．e2y，2xe2y．故所求方向导数为在点(1，0)处，1，2．1·cos()2·sin()．xyO-112PQx轴到射线l的转角为j，x轴到的转角为q，讨论：jq和jq

4、时的方向导数．解因为sinq．cosq，所以cosqcosjsinqsinjcos(qj)．Oxylj其中r，xrcosa，yrcosb，对于三元函数uf(x，y，z)，定义它在空间一点P(x，y，z)着方向(设方向的方向角为a、b、g)的方向导数如下，zrcosg．如果函数在所考虑的点处可微分，有=cosasinbcosg．三元函数的方向导数：二、梯度设函数zf(x，y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于任一点P(x，y)D及任一方向l，有称为函数f(x，y)在点

5、P的梯度，记作gradf(x，y)，即gradf(x，y)=cosj+sinj{，}·{cosj，sinj}，其中向量梯度与方向导数：=cosjsinj{，}·{cosj，sinj}函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值．讨论：已知方向导数为的最大值是什么？结论：梯度的模：

6、gradf(x，y)

7、．=cosjsinj曲面zf(x，y)上的曲线等高线：在xOy面上的投影曲线f(x，y)c称为函数zf(x，y)的等高线．梯度与等高线的关

8、系：等高线f(x，y)c上任一点P(x，y)处的法线的斜率为yxOgradf(x，y)fyfxgradf(x,y)法线的方向向量是什么？PyxOf(x，y)cf(x，y)c1(c1>c)函数zf(x，y)在点P(x，y)的梯度的方向与过点P的等高线f(x，y)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．梯度与等高线的关系：等高线f(x，y)c上任一点P(x，y)处的法线的斜率为三元

9、函数的梯度：设函数uf(x，y，z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数，对于每一点P(x，y，z)G，函数uf(x，y，z)在该点的梯度gradf(x，y，z)定义为：结论：三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值．等量面：曲面f(x，y，z)c为函数uf(x，y，z)的等量面．函数uf(x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P的等量面f(x，y，z)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度

10、的模等于函数在这个法线方向的方向导数．例3求grad．解这里f(x，y)．因为，，所以grad．例4设f(x，y，z)x2y2z2，求gradf(1，1，2)．解gradf{fx，fy，fz}{2x，2y，2z}，于是gradf(1，1，2){2，2，4}．如果与点M相对应的是一个向量(M)，则称在这空间区域G如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场(