方向导数与梯度..ppt

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1、方向导数与梯度一、方向导数的定义若f在P0点存在关于x的偏导数，则f在P0点沿x轴正向的方向导数f在P0点沿x轴负方向的方向导数则为沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出.定理17.6:则函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在,证明:且有由函数f在点P0可微,得上式两边同除以ρ令ρ→0取极限，得对于二元函数，相应结果为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向注：函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件.xzy0lyxzPP0z=f(x,y)QM是曲面在点P0处沿方向l的变化率，即半切线方向导数方向导数的几何意义的斜率.N例1.求函数在点P0(1,

2、1,1)沿方向l:(2,-1,3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为下面计算函数的偏导数：P0(1,1,1)二、梯度的概念gradf的长度（或模）为下面考察梯度与方向导数之间的关系.所以方向导数是梯度在方向l上的投影.方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：这就是说，f在P0的梯度方向是f的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模；而当l与梯度向量反方向时，方向导数取得最小值-

3、gradf(P0)

4、.梯度的基本运算公式内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角

5、为2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.P.1271，2，3作业:例4.证:试证处矢径r的模,思考题思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.2.P73题16曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量2.P73题16备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(92考研)指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.

6、函数提示:则(96考研)