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时间：2020-11-05
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1、§3方向导数与梯度在许多问题中,不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数),而且还要知道在其他特定方向上的变化率,这就是本节所要讨论的方向导数.返回※方向导数的概念定义1设函数导数,记作存在,则称此极限为函数在点沿方向的方向若极限给※方向导数与偏导数之间的一般关系当的方向为x轴的负方向时，则有图17–5其中证设为有(参见图17–5)在点沿任一方向的方向导数都存在,且为的方向余弦．上任一点，于是(2)由假设在点可微，则有解对于二元函数来说,相应于(1)的结果为其中是中向量的方向角．按公式(1)可求得例2设函数此函数示于图16–15,已知它在原点不连续(当然也就不可微
2、)．但在始于原点的任何射线上,都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上f的函数值恒为零.于是由方向导数定义,在原点处沿任何方向都有说明(i)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件；(ii)函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件,当然也不是充分条件(对此读者应能举出反例)．※梯度的概念则方向导数计算公式(1)又可写成的长度(或模)为在定理17.6的条件下,若记方向上的单位向量为解1.设函数复习思考题由§1例6已知,于是按方向导数的计算公式(1)，是否对任何方向，恒有若不对,则求出正确答案;并作出说明.
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