方向导数与梯度.ppt

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1、第八章第七节一、方向导数二、梯度方向导数与梯度假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．一、方向导数1.问题的提出一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属受热．在(3,2)处有一个蚂蚁，问：这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题1问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即温度的梯度相反方向）爬行.问题2l2.方向导数的定义设l是xOy平面上以是与l同方向的为始点的定义8.8单位向量.函数z=f(x,y)在点P0(x0,

2、y0)的某个邻域一条射线，内有定义，为l上另一点，且射线l的参数方程为存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l的方向导数，记作即1º方向导数的其他形式：注2º方向导数的几何意义过点P0沿l作垂直于xOy面的平面，与曲面z=f(x,y)的交线在曲面上相应点M处的切线MTl(若存在)关于l方向的斜率:该平面lTlz=f(x,y)3.方向导数的计算则本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算(1)用定义例1在点(1,2)处沿方向的方向导数.解当函数f(x,y)在点可微时,又有如下的计算方向导数的办法.定理8

3、.9证由函数且有得则函数在该点沿任一方向的方向导数存在,在点可微,(2)用公式故解例2方向导数概念可推广到三元函数：同样有，当函数在一点可微时，则函数在该点沿任意方向的方向导数都存在，且有例3解(1)方向导数与偏导数的关系存在4.概念之间的关系存在，且证xyoPlPPPPxyoPlP––？即但存在存在反例：（自己证）(2)可微可偏导沿任意方向的方向导数存在反例1反例2不存在.设从x轴正方向到射线l的转角为，求函数的方向导数.并问:l是怎样的方向时，此方向导数(1)取得最大值;(2)取得最小值;(3)等于零？

4、解由方向导数的计算公式知例4沿射线l方向在点P(1,1)故方向导数达到最小值方向导数达到最大值二、梯度从例4看到,到最大值函数在点P沿哪一个方向增加的速度最快？zoPxy=5/4观察向量：恰好与同方向，最大.这是巧合吗？不是！1.定义8.9设二元函数为函数z=f(x,y)在点P处的梯度记作(gradient),在点具有偏导数，称向量(1)(2)可微函数z=f(x,y)的梯度有下列性质：2.梯度与方向导数的关系证(1)(2)取得最大值:注1º沿梯度相反方向，2º梯度的概念可以推广到三元函数类似于二元函数，三元函数的梯度

5、也有上述性质.方向：是函数值增加最快的方向模:等于函数的方向导数最大值求函数在点处的梯度.解则注意x,y,z具有轮换对称性例5称为函数3.梯度的几何意义(1)等高线z=f(x,y)的等高(值)线.xyoxyzoz=c2z=c1f(x,y)=c1f(x,y)=c2(2)等高线f(x,y)=c的法向量(3)等高线上的法向量与梯度的关系①②≥0故z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度恰为等高线f(x,y)=c在这点的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数．等高线梯

6、度为等高线上的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线.函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数同样,对应三元函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,等值面上点P处的法向量为增大的方向.例6解(方法1)恰为等高线(u=0)xyoM内(方法2)––xyoM4.梯度的基本运算公式5.梯度的应用梯度的应用非常广泛，如：(1)计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2)在热力学中，引出热流向量：(其中U(P)为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3)在电磁场学中的电位u与电场强度有关系：例

7、7证试证处矢径r的模,例8已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证明：证利用例6的结果处所产生的电位为这说明：场强垂直于等位面,且指向电位减少的方向.内容小结1.方向导数计算公式•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为可微时方可用2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.思考题设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的

8、夹角.曲线在点解(1)函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切向量为备用题在点P(2,3)沿曲线在该点的切线，朝x增大方向的方向导数.解将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例2-1求函数沿点A指向点B(3,－2,2)方向的方向导数在点A(1,0,1)处例3-1求函数解则解令故方向余弦为例3-2+外侧故例3-3