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1、14.6方向导数和梯度一、方向导数在许多实际问题中，常常需要知道函数（或函数）在一点沿任何方向或某个方向的变化率.例如,设表示某物体内点的温度,那么这物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度(速率);又如,要预报某地的风向和风力,就必须知道气压在该处沿某些方向的变化率.为此,要引进多元函数在一点沿一给定方向导数的概念.这里以三各变量的函数为例.设为一给定点,是从点出发的射线,它的方向向量用来表示.设是射线上的任一点,的坐标为其中是的方向余弦,是线段的长度,在这段长度内,函数的平均变化率为令沿趋于,这时如果存在,则称此
2、极限为在点沿的方向导数,记为或例1设向量的方向余弦是于是沿方向的平均变化率为下面我们给出方向导数的计算公式.定理如果函数在一点可微,则在点沿任何方向的方向导数都存在,并由以下的求导公式其中是的方向余弦.例2对求在点沿方向的方向导数.二、梯度1.物理量的等量面(等量线)我们在研究一个物理量在某一区域的分布时,常常需要考察这区域中由相同物理量的点,也就是使取相同数值的各点其中是常数.这个方程在几何上表示曲面,我们称它为等量面.当取不同数值时,所得到的等量面也不同.如气象学中的等温面和等压面,电学中的等势面等等.同样,对于含
3、两个自变量的物理量则有等量线.例如在船体设计中用平行于基线面的平面将船体切割,它的截口曲线称为水线.在同一条水线上,其高度势相同的,因此这些水线就势等量线.在船体设计中,用它们来表示船体线型在纵向的变化趋势.此外,在地图上常常利用等高线来表示地面上的高低起伏,在气象图上用等温线来表示地面上气温变化等等,这些都是等量线.2、梯度现在从等量面(或等量线)出发,引出一个具有重要意义的向量函数.我们以气象预报中地面上的等压线为例.在方向气压从点的(毫巴)过渡到气压为的点距离是它比沿方向从变到气压为的点的距离小.所以按距离而言,
4、气压沿方向的平均增长率大于沿的平均增长率.显然,如果在一个方向上的等压线密集,气压的变化率越大.可见,在点沿不同的方向,其变化率将有所不同.现在再作一般的讨论.设是一数量函数,等量面为，设是等量面上的任一点,它的法线向量为其中分别是三个偏导数在点的数值.称这个向量为数量函数在点的梯度,记为(是的缩写),即从数量函数引出一个向量函数它的长度记为这样引进的梯度概念有什么意义呢?下面将说明:(1)梯度的方向是函数增长最快的方向;(2)梯度的模就是函数沿这一方向的变化率.现在分析如下:设的方向余弦是这时沿的方向导数是令是方向的
5、单位向量于是这里表示向量与余角的余弦.由此可以看出,在点沿一切不同方向的方向导数中,当与梯度的方向一致时,从而有最大量,所以沿梯度方向的方向导数达到最大;就是说,的方向,函数在这个方向上变化率最大,而且这个变化率就等于梯度的模同样可以看出,沿梯度的反方向,即的反向,函数减少最快.由于数量函数所表示的物理意义是由点的函数来描写的,在不同坐标下,同一点的函数值应该不变,这表示数量函数与坐标系的选取无关.从而由此产生的等量面、数量函数的梯度以及它的最大变化率等等,也都与坐标系的选择无关.综上所述,是这样一个向量函数,它是由数
6、量函数产生的,在每一点处的梯度方向与过点等量面在这点的法线方向相同,且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面,梯度的模等于函数沿法线方向的方向导数.如以表示等量面的一个单位法向量,它指向的数值增大的方向,而以表示函数沿这法线的方向导数,则有这是因为任何向量可以用这向量的单位向量表示出来以下是关于梯度的基本运算法则:两个函数代数和的梯度,等于各函数梯度的代数和,即(2)两个函数乘积的梯度这两个法则从梯度的各个分量的表示立即可以证明.再由求复合函数的偏导数法则,又可得(3)复合函数的梯度例3设求在点的梯度.例4设在平面上的
7、原点处有一单位正电荷,在真实中产生一个静电场,在平面上任意一点(不等于原点)处,其电位为?
