导数-偏导数-方向导数-梯度及其关系.docx

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1、导数：,导数的意义为函数的变化率。由定义可知，导数是对应一元函数的。偏导数：.偏导数是对应于多元函数的。其意义是：偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率。方向导数：设为xOy平面上以为始发点的一条射线，是与同方向的单位向量。则该射线的参数方程为：,那么，函数,在沿方向的方向导数为：。从方向导数的定义可知，方向导数就是函数在点沿方向的变化率。方向导数也是对应于多元函数的。方向导数是一个标量值。方向导数与偏导数的关系：如果函数在点可微分，那么函数在改点沿任意方向的方向导数存在，且有,其中为方向的方向余弦。（若

2、方向也就是x轴方向，则，若方向也就是y轴方向，则）.梯度：设函数在平面区域D内有一阶连续偏导数，则对于每一个点都可以定出一个向量，这向量称为函数在点的梯度，即。方向导数与梯度关系：如果函数在点可微分，是方向同向的单位向量，则，其中为梯度与方向的夹角。从上式可以看出当时,方向导数取得最大值，也就是梯度的模。总结：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。