方向导数与偏导数.ppt

《方向导数与偏导数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第五章第三节一、方向导数与偏导数二、全微分四、高阶偏导数及高阶全微分多元数量值函数的导数与微分三、梯度及其与方向导数的关系五、多元复合函数的偏导数和全微分六、由一个方程确定的隐函数的微分法13.1、方向导数与偏导数引例:设是平面上某一向量，其单位向量记为方向的变化率.解：作与l平行的直线L,它的方程为过点上变化时f(x)在点处的变化率.是一个二元函数.现讨论f在点处沿lf(x)在点处沿方向l的变化率，就是当点在直线L2在与固定的情况下，当点r在直线L上变化时，函数是自变量为t的一元函数，记作因此，f(r)在处沿方向l的变化率就是函数F(t)在t

2、=0处的导数，即3一、方向导数的定义定义:设是平面上一向量，与l同向的存在，则称此极限值为f在r0点处沿l方向的方向导数.从而对应的函数值有改变量若内让自变量r由沿与平行的直线变到单位向量为二元函数在或记作即4关于方向导数的几点说明(1)定义中的t的绝对值是两点与之间的距离d.关于距离的变化率.(2)方向导数实际上是函数f在沿l方向沿l方向增加(减少).则f在处(3)若方向导数5方向导数的几何意义平面与曲面相交的曲线为C.(1)当t>0,的方向与l的方向相对应，表示曲线C的割线与向量l交角的正切值,即(关于l的方向)的斜率.过直线作平行于z轴的

3、平面II，6方向导数的几何意义(2)当t<0,的方向与l的方向相反，表示(关于l的方向)的斜率.7它关于l方向的斜率是方向导数当割线转化为切线.如果极限存在，那么曲线C在点仅有唯一的切线T，8例3.1.设二元函数求f在点(0,0)沿方向的方向导数.解：当时，有当时，由于从而9偏导数的定义在点的邻域设函数即:定义3.2内定义，若f在点处沿x轴(y轴)则称此方向导数为f在点正向的方向导数存在，f对x的偏导数，记为处对x(y)的偏导数.同理给出f对y的偏导数的记号和定义式.10在区域D内有定义，设函数及定义则f对x及y的偏导函数分别定义为其中f对x的

4、偏导函数简记为f对y的偏导函数简记为11设函数及例3.2求解：把y看作常数，对x求导得把x看作常数，对y求导得由得12二元函数偏导数的几何意义由方向导数的定义知，处对x的在点与平面的交线处对x的偏导数就是曲面处切线在点的斜率，即同理，13n元函数的方向导数与偏导数二元函数的方向导数的定义及偏导数定义可直接推广到n元函数中.偏导数定义为方向导数定义为其中14