7.3 方向导数 偏导数与全微分2

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1、xx例:求f(x,y)esin的偏函数f,f.xyyxxxx1解:fesinecos,xyyyxxxfecos().y2yy2xyz222例:求wf(x,y,z)zxyz的偏函数f,f,f.xyzxy2z22x解:fzlnzyz,x2222xyzxy2z2yfzlnz2xyz,y2222xyzxy2zlnz2212zfe(xylnzxyz).zz2x2y2z2二元函数可微性与偏导数之间存在如下关系:定理7.1:若二元函数zf(x,y)在点P

2、(x,y)处可微,则f(x,y)在点P(x,y)处的偏导数000000存在,且Af(x,y),Bf(x,y).x00y00证:若二元函数zf(x,y)在点P(x,y)处可微,则00022zf(xx,yy)f(x,y)AxByo(),其中xy.00002令y0,则xxzf(xx,y)f(x,y)Axo(x)0000zAxo(x)o(x)o(x)limlimlim[A]AlimA.x0xx0xx0xx0x

3、从而Af(x,y).x00同样可以证明:Bf(x,y).y00可微的几何意义：若二元函数zf(x,y)在点P(x,y)处可微,000则f(x,y)在点(x,y,f(x,y))处存在切平面.0000TP[x,y,f(x,y)]x0000zzf(x,y)TyyoP(x,y)000x由于x,y分别是自变量x,y的微分dx,dy,故若二元函数zf(x,y)在点P(x,y)处可微,则它的全微分可写成:000dzf(x,y)xf(x,y)yf(x,y)dxf(x,y)dy.(x,y)x00y00x00y

4、0000当zf(x,y)在D内处处可微时,则zf(x,y)在D内的全微分可写成:dzf(x,y)dxf(x,y)dy.xy由此可见:dz是4个变量x,y,dx,dy的函数.但通常把dz看成是x,y的函数,其中dx,dy相对于x,y为常数.若n元函数zf(x,x,x)在区域D内处处可微时,12n则zf(x,x,x)在区域D内的全微分可写成:12ndzf(x,x,x)dxf(x,x,x)dxf(x,x,x)dx.x112n1x212n2xn12nny例:求zx的全微分.zy1zy解:

5、yx,xlnx,xyzzy1ydzdxdyyxdx(xlnx)dy.xy3lnxy例:求zysinxy的全微分.z3lnxy13lnxylny解:ycosxylnyyycosxy.xxyxz2lnxylny112lnxylnylnylnxy3ysinxe(xlnylnxy)3ysinxe().yxyyyy3lnxylny2lnxylnylnylnxydz(ycosxy)dx[3ysinxe(]dy.xyy2yz2z例:求uxxe(xy)的全

6、微分.yz2z1解:u2xez(xy)2x,xyz2z1uxezz(xy),yyz2z2uxey(xy)ln(xy).zyz2z1du[2xe2xz(xy)]dxyz2z1yz2z2[xzez(xy)]dy[xey(xy)ln(xy)]dz.定理7.2:若二元函数zf(x,y)的偏导数f(x,y),f(x,y)在点P(x,y)处连续,xy000则zf(x,y)在点P(x,y)处可微.000注:偏导数f(x,y),f(x,y)在点P(x,y)处连续指

7、:xy000偏导数f(x,y),f(x,y)在点P(x,y)及某一邻域内存在,xy000且f(x,y),f(x,y)在点P(x,y)处连续.xy000定理:若二元函数zf(x,y)在点P(x,y)处可微,则f(x,y)在点P(x,y)处一定连续.000000证:由于zf(x,y)在点P(x,y)处可微,00022故f(xx,yy)f(x,y)f(x,y)xf(x,y)yo(xy),(x,y)(0,0).0000x00y00lim[f(xx,yy)f(x,y)]0000(

8、x,y)(0,0)22lim[fx,y)xf(x,y)yo(xy)].x00y00(x,y)(0,0)22o(xy)2222由于limo(xy)limxy0.(x,y)(0,0)(x,y)(0,0